实现“顺序结构二叉树”

文章目录

[一. 树](#一. 树)
- [1. 树的概念](#1. 树的概念)
- 2.树的表示
[二. 二叉树](#二. 二叉树)
- [2.1 概念](#2.1 概念)
- [2.2 满二叉树](#2.2 满二叉树)
- [2.3 完全二叉树](#2.3 完全二叉树)
- [2.4 二叉树的性质](#2.4 二叉树的性质)
- [2.5 二叉树的存储结构](#2.5 二叉树的存储结构)
- [2.5.1 顺序结构](#2.5.1 顺序结构)
- [2.5.2 链式结构](#2.5.2 链式结构)
[三. 实现顺序结构二叉树](#三. 实现顺序结构二叉树)
- [3.1 堆的概念和结构](#3.1 堆的概念和结构)
- [3.2 堆的性质](#3.2 堆的性质)
- [3.3 堆的实现](#3.3 堆的实现)

一. 树

1. 树的概念

树是一种非线性的数据结构 ，它是由 n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树 （它是根朝上，而叶朝下的）

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。
除根结点外，其余结点被分成 M (M>0) 个互不相交的集合 T1、T2、......、Tm。其中每一个集合 又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 ≥0 个后继。因此，树是递归定义的。
子树是不相交的。（相交的话是图）
除根结点外，每个结点有且只有一个父结点。
一棵N个结点的树有N-1条边。（忽略图中的箭头）

父结点/双亲结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；

子结点/孩子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点(亲兄弟)；

结点的度：这个结点有几个孩子，他的度就是多少；

树的度：一棵树中，最大的结点的度 称为树的度；

叶子结点/终端结点：度为 0 的结点；

分支结点/非终端结点：度不为 0 的结点；

结点的层次：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子结点为第 2 层，以此类推；

树的高度或深度：树中结点的最大层次；

结点的祖先：(从根到该结点)所经分支上的所有结点；

路径：一条从树中任意结点出发，沿父结点-子结点连接，达到任意结点的序列；

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。

森林：由 m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

2.树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系。

孩子兄弟表示法：

cpp 复制代码

struct TreeNode
{
struct Node* child; // 左边开始的第⼀个孩⼦结点
struct Node* brother; // 指向其右边的下⼀个兄弟结点
int data; // 结点中的数据域
};

二. 二叉树

2.1 概念

二叉树是树的一种，二叉树是在树的基础上添加了一些规则。

在树形结构中，我们最常用的就是二叉树，一棵二叉树是结点的一个有限集合（集合是什么呢？集合由一个根结点 加上两棵别称为左子树 和右子树的二叉树组成或者为空）

二叉树的特点：

1.二叉树不存在度大于 2 的结点（度是孩子结点的个数）

2.二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒 ，因此二叉树是有序树

对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的

2.2 满二叉树

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。（层数是k，则该层的结点数是2^(k-1)^个

结点总数是每一层的加起来（是等比数列），结果是2^k^-1

2.3 完全二叉树

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。满二叉树是特殊的完全二叉树，当完全二叉树的最后一层的结点数是最大结点数，即2^k-1^,则为满二叉树。

对于深度(层数)为 K 的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与 深度为K的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时，称之为完全二叉树。

再解释一下完全二叉树：假设二叉树的层次是k，除了最后一层(第k层)，其余每层的结点个数都达到了最大结点数，且第k层的结点的顺序是从左到右，这种二叉树叫做 "完全二叉树"。

2.4 二叉树的性质

由满二叉树推理而得的二叉树的性质:

若规定根结点的层数为1

非空二叉树的第i层最多有2^i-1^个结点
深度为h的非空二叉树的最大结点数是2^h^-1
具有 n 个结点的满二叉树的深度

2.5 二叉树的存储结构

2.5.1 顺序结构

顺序结构存储就是使用数组来存储 ，⼀般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费

我们不能直接存右图的A,B,C,D,E,F，这样会打乱顺序，之后没法通过公式找到某个结点。

2.5.2 链式结构

二叉树的链式存储结构：用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。

链表中每个结点由三个域组成：数据域和左右指针域（左右指针：该结点的左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址）

链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链。后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

三. 实现顺序结构二叉树

3.1 堆的概念和结构

在二叉树里面，还有一个特殊的二叉树：堆

堆：通常使用顺序结构来存储数据

堆：具有⼆叉树的特性的同时，还具备其他的特性。

堆的性质：

堆中某个结点的值≤或≥根结点。(分为大小堆）

堆总是一颗完全二叉树。（从左到右的顺序）

小堆(小根堆)：根结点的值最小的堆-------->叫做小根堆(小堆的堆顶值是min的)

大堆(大根堆)：根结点的值最大的堆-------->叫做大根堆(大堆的堆顶值是max的)

3.2 堆的性质

对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为 i 的结点有：

若i=0，则 i 为根结点的序号(没有父结点)
若i > 0，i 这个位置的结点的父结点序号是：(i-1)/2；左孩子结点的序号：2i +1；右孩子结点序号：2i +2
左孩子序号<结点个数（2i+1<n），则有左孩子；右孩子序号<结点个数（2i+2<n），则有右孩子；
左孩子序号>=结点个数（2i+1>=n），则没有左孩子；右孩子序号>=结点个数（2i+1>=n），则没有右孩子；

10是根结点，序号是0，只有孩子结点。i=0,左孩子结点：0*2+1=1，右孩子结点：0 *2+2=2.

3.3 堆的实现

堆底层结构为数组

堆的初始化和销毁

cpp 复制代码

//Heap.h
#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>
//定义堆的结构---数组
typedef int HPDataty;
typedef struct Heap
{
	HPDataty* arr;
	size_t size;  //有效个数
	size_t capacity;  //空间大小
}HP;

//堆的初始化
void HPInit(HP* php);
void HPDestroy(HP* php);

cpp 复制代码

//Heap.cpp
#include"Heap.h"
void HPInit(HP* php)
{
	assert(php);
	/*HPDataty* arr1=(HPDataty*)malloc(sizeof(HPDataty));
	if (arr1 == NULL)
	{
		perror("malloc fail!");
		exit(1);
	}*/
	php->arr = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}
void HPDestroy(HP* php)
{
	assert(php);
	if (php->arr != NULL)
	{
		free(php->arr);
	}
	php->arr = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

向堆里插入数据

cpp 复制代码

void HPPush(HP* php, HPDataty x)
{
	assert(php);
	//判断空间是否足够
	if (php->size == php->capacity)
	{
		//扩容
		size_t newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;
		HPDataty* tmp = (HPDataty*)realloc(php->arr, newcapacity * sizeof(HPDataty));
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail!");
			exit(1);
		}
		php->arr = tmp;
		php->capacity = newcapacity;
	}
	//空间足够，添加数据
	php->arr[php->size] = x;
	php->size++;
}

重点：插入数据之后，并不代表这个数据就是堆了。堆它还有其它要求呢，根结点的值最大/最小；父结点的值≥或≤孩子结点。

以小堆为例：

新插入的数据肯定是孩子结点，将arr[孩子]和arr[父结点]比较。

堆的向上调整算法

从最后一个插入的数据arr[size-1]开始，最后一个数据只可能是孩子结点，将children=size-1。

将这个孩子结点和它的父结点arr[(children-1)/2]比较，如果孩子结点＜父结点，将其交换。循环往上走，直到父结点=0.

cpp 复制代码

void Swap(int* x, int* y)
{
	int t = *x;
	*x = *y;
	*y = t;
}
void AdjustUp(HPDataty* arr,int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child>0)   //当孩子结点是0时，那就是已经走到根结点了，父结点已，越界无需再向上比较
	{
		if (arr[child] < arr[parent])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			child = parent;
			parent = (child- 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
void HPPush(HP* php, HPDataty x)
{
	assert(php);
	//判断空间是否足够
	if (php->size == php->capacity)
	{
		//扩容
		int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;
		HPDataty* tmp = (HPDataty*)realloc(php->arr, newcapacity * sizeof(HPDataty));
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail!");
			exit(1);
		}
		php->arr = tmp;
		php->capacity = newcapacity;
	}
	//空间足够，添加数据
	php->arr[php->size] = x;
	php->size++;
	AdjustUp(php->arr,php->size-1);
}
void Print(HP* php)
{
	int i = 0;
	while (i < php->size)
	{
		printf("%d ", php->arr[i++]);
	}
}

删除堆里的数据

删除堆里的数据，删除的是堆顶的数据。

但是如果直接将堆顶的数据删除，接下来的堆就没有堆顶了。

我们可以将根结点和最后一个结点交换，然后将最后一个结点删除掉，那接下来的堆就不是有效的，我们需要将数据再次排序调整----->向下调整算法。

向下调整算法

要将根结点和孩子结点比较，【比较左右孩子结点的值，找出那两个孩子中最小的孩子结点】，将那个小的孩子结点和父结点比较，若是父结点比 (那个小的孩子结点) 大，则将它们两个交换，那么此时的根结点放的就是最小的值了。循环往下...

接下来的一个重点是：那这个循环什么时候停止呢？

取堆顶数据

cpp 复制代码

HPDataty HPTop(HP* php)
{
	assert(php && php->size);
	return php->arr[0];
}

判空

cpp 复制代码

bool HPEmpty(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size==0;
	//如果size不等于0，堆不是空的，那么返回假。 !HPEmpty就是真
}

可以将判空用于读取堆里的所有数据。

先读取堆顶数据，然后将堆顶数据删除，下一次又可以读堆顶数据。那循环什么时候停止呢？当数据是空的时候，这时候判断条件就可以用判空那个函数了。

cpp 复制代码

while (!HPEmpty(&hp))
{
	printf("%d ", HPTop(&hp));
	HPPop(&hp);
}