【C++ 算法进阶】算法提升六

[子数组的最大异或和（前缀树）](#子数组的最大异或和（前缀树）)
- 题目描述
- 题目分析
- - 暴力解
  - [优化解（时间复杂度为N）](#优化解（时间复杂度为N）)
  - 前缀树的设计
- 代码详解
[两个数的最大异或和（前缀树）](#两个数的最大异或和（前缀树）)
- 题目
- 题目分析
- 代码详解
- [尼姆博弈问题（公式）](#尼姆博弈问题（公式）)
- 题目描述
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- 代码详解

子数组的最大异或和（前缀树）

题目描述

求出一个数组中最大的子数组异或和

题目分析

这道题目和我们之前做的一道题很类似

求出一个数组中的最大累加和

最大累加和问题我们是使用动态规划来解决而能够使用动态规划的根本原因则是数字相加具有单调性即两个大数相加得到的只可能是一个更大的数

但是异或和就不痛了两个很大的数字异或的结果可能为一个很小的数

暴力解

当然这道题我们还是可以借用 数组中最大子数组累加和 的思维来做

最大异或和肯定是以大数组中的某个数作为结尾计算出来的

所以说只要我们计算出以每个数作结尾的最大异或和再比较一下我们就能求出最终的答案

具体过程

假设我们是以5作为子数组的结尾那么我们只需要计算出下面几种异或和即可求出最终答案

而要求出这些异或和我们只需要计算出

没有数的异或和
0~0
0~1
...
0~4

的异或和再让他们分别异或上0~5的异或和即可求出

所以说我们可以建立一张异或和表（0~N）时间复杂度为N

计算出以 i 位置的数为结尾的时间复杂度为N

计算出总的结果的时间复杂度为 N^2

优化解（时间复杂度为N）

上面的暴力解的主要问题是我们创建的表对于我们选择结果没有任何帮助我们依旧需要遍历整张表（到i位置为止）才能得出最终结果

所以说我们需要一个能帮助我们选择的数据结果 -- 前缀树

前缀数如何帮助我们进行选择

假设我们现在0~i 上的异或和为 1 1 0 1 0 1 0 1 （8位）

我们从8位开始选择异或那么我们希望选择的异或和是 0 0 1 0 1 0 1 0

那么我们就可以从前缀树中按照我们的期望进行选择

当然如果我们没有期望的话就只能选择另一种结果

如果有负数怎么办

是正数符号位为0 那么我们期望的结果为0 如果是负数的符号位为1 那么我们期望的结果为1 （尽量变成正数）

其他位只需要按照原来的选择即可

前缀树的设计

我们首先可以设计出前缀树的节点

cpp 复制代码

// 定义Trie节点，只包含两条路
class TrieNode {
public:
    TrieNode* children[2];  // 0 和 1 的两个分支

    TrieNode() {
        children[0] = children[1] = nullptr;  // 初始化两个分支为空
    }
};

接下来我们可以设计出两个函数

一个add函数将一个异或值插入到前缀树中
一个maxeor函数找出当前值的最大异或值

cpp 复制代码

    // 添加前缀异或值到Trie树中
    // move表示移动move位
    // num 表示插入前缀树的值 0或1
    void add(int lnNum) {
        TrieNode* cur = root;
        for (int move = 31; move >= 0; move--) {
            int num = (lnNum >> move) & 1;
            cur->children[num] = cur->children[num] == nullptr ? new TrieNode() : cur->children[num];
            cur = cur->children[num];
        }
    }

cpp 复制代码

    // 返回当前值lnNum与Trie树中的值的最大异或值
    // move 移动的位数
    // lnNum 参数 求出与他异或和的最大值
    // cur 当前节点
    // ans 返回的答案 32位整数
    int maxXor(int lnNum) {
        TrieNode* cur = root;
        int ans = 0;
        for (int move = 31; move >=0; move--)
        {
            // lnBit 当前的位数的值 0或1
            // Bset 期望走的路
            int lnBit = (lnNum >> move) & 1;
            int Best = lnBit ^ 1;

            if (cur->children[Best] == nullptr)
            {
                Best ^= 1;
            }

            ans |= (Best ^ lnBit) << move;
            cur = cur->children[Best];
        }

        return ans;
    }

代码详解

cpp 复制代码

using namespace std;

// 定义Trie节点，表示二进制数的两个可能路径
class TrieNode {
public:
    TrieNode* children[2];  // 0 和 1 的两个分支

    TrieNode() {
        children[0] = nullptr;
        children[1] = nullptr;
    }
};

// 定义Trie类
class Trie {
private:
    TrieNode* root;

public:
    // 构造函数，初始化根节点
    Trie() {
        root = new TrieNode();
    }

    // 添加前缀异或值到Trie树中
    // move表示移动move位
    // num 表示插入前缀树的值 0或1
    void add(int lnNum) {
        TrieNode* cur = root;
        for (int move = 31; move >= 0; move--) {
            int num = (lnNum >> move) & 1;
            cur->children[num] = cur->children[num] == nullptr ? new TrieNode() : cur->children[num];
            cur = cur->children[num];
        }
    }

    // 返回当前值lnNum与Trie树中的值的最大异或值
    // move 移动的位数
    // lnNum 参数 求出与他异或和的最大值
    // cur 当前节点
    // ans 返回的答案 32位整数
    int maxXor(int lnNum) {
        TrieNode* cur = root;
        int ans = 0;
        for (int move = 31; move >=0; move--)
        {
            // lnBit 当前的位数的值 0或1
            // Bset 期望走的路
            int lnBit = (lnNum >> move) & 1;
            int Best = lnBit ^ 1;

            if (cur->children[Best] == nullptr)
            {
                Best ^= 1;
            }

            ans |= (Best ^ lnBit) << move;
              cur = cur->children[Best];
        }

        return ans;
    }
};

// 主函数，计算子数组的最大异或和
int findMaxXorSubarray(const vector<int>& arr) {
    // x arr内数据的值拷贝
    // T 一个前缀树对象
    // eor 前面N个数的异或和
    // ans 子数组异或和的最大值 也就是我们要返回的值
    Trie T;
    int eor = 0;
    int ans = INT_MIN;
    for (auto x : arr) {
        T.add(eor);
        eor ^= x;
        ans = max(ans, T.maxXor(eor));
    }


    return ans;
}

int main() {
    vector<int> arr = { 3, 10, 5, 25, 2,};

    int lnMaxXor = findMaxXorSubarray(arr);
    cout << "最大子数组异或和为: " << lnMaxXor << endl;

    return 0;
}

两个数的最大异或和（前缀树）

题目

本题为LC原题题目如下

题目分析

有了上一题的经验我们要解决这题就简单多了

我们直接将数组中所有的数添加到前缀树中之后遍历整个数组直接求出最大值即可（时间复杂度N）

代码详解

cpp 复制代码

// 定义Trie节点，表示二进制数的两个可能路径
class TrieNode {
public:
    TrieNode* children[2];  // 0 和 1 的两个分支

    TrieNode() {
        children[0] = nullptr;
        children[1] = nullptr;
    }
};

// 定义Trie类
class Trie {
private:
    TrieNode* root;

public:
    // 构造函数，初始化根节点
    Trie() {
        root = new TrieNode();
    }

    // 添加前缀异或值到Trie树中
    // move表示移动move位
    // num 表示插入前缀树的值 0或1
    void add(int lnNum) {
        TrieNode* cur = root;
        for (int move = 31; move >= 0; move--) {
            int num = (lnNum >> move) & 1;
            cur->children[num] = cur->children[num] == nullptr ? new TrieNode() : cur->children[num];
            cur = cur->children[num];
        }
    }

    // 返回当前值lnNum与Trie树中的值的最大异或值
    // move 移动的位数
    // lnNum 参数 求出与他异或和的最大值
    // cur 当前节点
    // ans 返回的答案 32位整数
    int maxXor(int lnNum) {
        TrieNode* cur = root;
        int ans = 0;
        for (int move = 31; move >=0; move--)
        {
            // lnBit 当前的位数的值 0或1
            // Bset 期望走的路
            int lnBit = (lnNum >> move) & 1;
            int Best = lnBit ^ 1;

            if (cur->children[Best] == nullptr)
            {
                Best ^= 1;
            }

            ans |= (Best ^ lnBit) << move;
            cur = cur->children[Best];
        }

        return ans;
    }
};

class Solution {
public:
    // T TrieNode定义的
    // ans 最后的答案
    int findMaximumXOR(vector<int>& nums) {
        Trie T;
        int ans = 0;
        for (auto x : nums) {
            T.add(x);
        }

        for (auto x : nums) {
            ans = max(ans , T.maxXor(x));
        }

        return ans;
    }
};

尼姆博弈问题（公式）

题目描述

给定一个数组数组内有N个正整数两个人开始拿数每个人每次只能拿数组中的一个数 (至少为1 至多为这个数的大小)

假设两个人的选择都绝对理性且绝对正确

现在给你一个数组要求你返回先手赢还是后手赢

题目分析

这里直接给出公式

所有数组的异或和如果为0 则后手赢

如果异或和为0则先手赢

本体的本质是先手要让后手每次拿到数时异或和都变为0

而当一开始异或和不为0时我们就能很轻松的做到这个效果所以说如果所有数组的异或和不为0 则先手赢

代码详解

cpp 复制代码

int eor = 0;
int ans = 0;
for (auto x : arr) {
   ans ^= x;
}

return ans == 0;

【C++ 算法进阶】算法提升六

目录

子数组的最大异或和 （前缀树）

题目描述

题目分析

暴力解

优化解 （时间复杂度为N）

前缀树的设计

代码详解

两个数的最大异或和 （前缀树）

题目

题目分析

代码详解

尼姆博弈问题 （公式）

题目描述

题目分析

代码详解

子数组的最大异或和（前缀树）

优化解（时间复杂度为N）

两个数的最大异或和（前缀树）

尼姆博弈问题（公式）