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- [子数组的最大异或和 （前缀树）](#子数组的最大异或和 （前缀树）)
- [两个数的最大异或和 （前缀树）](#两个数的最大异或和 （前缀树）)
子数组的最大异或和 （前缀树）
题目描述
求出一个数组中最大的子数组异或和
题目分析
这道题目和我们之前做的一道题很类似
求出一个数组中的最大累加和
最大累加和问题我们是使用动态规划来解决 而能够使用动态规划的根本原因则是 数字相加具有单调性 即两个大数相加得到的只可能是一个更大的数
但是异或和就不痛了 两个很大的数字异或的结果可能为一个很小的数
暴力解
当然 这道题我们还是可以借用 数组中最大子数组累加和 的思维来做
最大异或和肯定是以大数组中的某个数作为结尾计算出来的
所以说只要我们计算出以每个数作结尾的最大异或和 再比较一下 我们就能求出最终的答案
具体过程
假设我们是以5作为子数组的结尾 那么我们只需要计算出下面几种异或和即可求出最终答案
- 0~5
- 1~5
- 2~5
- 3~5
- 4~5
- 5~5
而要求出这些异或和 我们只需要计算出
- 没有数的异或和
- 0~0
- 0~1
- ...
- 0~4
的异或和再让他们分别异或上0~5的异或和即可求出
所以说我们可以建立一张异或和表 （0~N） 时间复杂度为N
计算出以 i 位置的数为结尾的时间复杂度为N
计算出总的结果的时间复杂度为 N^2
优化解 （时间复杂度为N）
上面的暴力解的主要问题是 我们创建的表对于我们选择结果没有任何帮助 我们依旧需要遍历整张表（到i位置为止） 才能得出最终结果
所以说我们需要一个能帮助我们选择的数据结果 -- 前缀树
前缀数如何帮助我们进行选择
假设我们现在0~i 上的异或和为 1 1 0 1 0 1 0 1 （8位）
我们从8位开始选择异或 那么我们希望选择的异或和是 0 0 1 0 1 0 1 0
那么我们就可以从前缀树中按照我们的期望进行选择
当然 如果我们没有期望的话就只能选择另一种结果
如果有负数怎么办
是正数符号位为0 那么我们期望的结果为0 如果是负数的符号位为1 那么我们期望的结果为1 （尽量变成正数）
其他位只需要按照原来的选择即可
前缀树的设计
我们首先可以设计出前缀树的节点
cpp
// 定义Trie节点，只包含两条路
class TrieNode {
public:
TrieNode* children[2]; // 0 和 1 的两个分支
TrieNode() {
children[0] = children[1] = nullptr; // 初始化两个分支为空
}
};接下来我们可以设计出两个函数
- 一个add函数 将一个异或值插入到前缀树中
- 一个maxeor函数 找出当前值的最大异或值
cpp
// 添加前缀异或值到Trie树中
// move表示移动move位
// num 表示插入前缀树的值 0或1
void add(int lnNum) {
TrieNode* cur = root;
for (int move = 31; move >= 0; move--) {
int num = (lnNum >> move) & 1;
cur->children[num] = cur->children[num] == nullptr ? new TrieNode() : cur->children[num];
cur = cur->children[num];
}
}
cpp
// 返回当前值lnNum与Trie树中的值的最大异或值
// move 移动的位数
// lnNum 参数 求出与他异或和的最大值
// cur 当前节点
// ans 返回的答案 32位整数
int maxXor(int lnNum) {
TrieNode* cur = root;
int ans = 0;
for (int move = 31; move >=0; move--)
{
// lnBit 当前的位数的值 0或1
// Bset 期望走的路
int lnBit = (lnNum >> move) & 1;
int Best = lnBit ^ 1;
if (cur->children[Best] == nullptr)
{
Best ^= 1;
}
ans |= (Best ^ lnBit) << move;
cur = cur->children[Best];
}
return ans;
}代码详解
cpp
using namespace std;
// 定义Trie节点，表示二进制数的两个可能路径
class TrieNode {
public:
TrieNode* children[2]; // 0 和 1 的两个分支
TrieNode() {
children[0] = nullptr;
children[1] = nullptr;
}
};
// 定义Trie类
class Trie {
private:
TrieNode* root;
public:
// 构造函数，初始化根节点
Trie() {
root = new TrieNode();
}
// 添加前缀异或值到Trie树中
// move表示移动move位
// num 表示插入前缀树的值 0或1
void add(int lnNum) {
TrieNode* cur = root;
for (int move = 31; move >= 0; move--) {
int num = (lnNum >> move) & 1;
cur->children[num] = cur->children[num] == nullptr ? new TrieNode() : cur->children[num];
cur = cur->children[num];
}
}
// 返回当前值lnNum与Trie树中的值的最大异或值
// move 移动的位数
// lnNum 参数 求出与他异或和的最大值
// cur 当前节点
// ans 返回的答案 32位整数
int maxXor(int lnNum) {
TrieNode* cur = root;
int ans = 0;
for (int move = 31; move >=0; move--)
{
// lnBit 当前的位数的值 0或1
// Bset 期望走的路
int lnBit = (lnNum >> move) & 1;
int Best = lnBit ^ 1;
if (cur->children[Best] == nullptr)
{
Best ^= 1;
}
ans |= (Best ^ lnBit) << move;
cur = cur->children[Best];
}
return ans;
}
};
// 主函数，计算子数组的最大异或和
int findMaxXorSubarray(const vector<int>& arr) {
// x arr内数据的值拷贝
// T 一个前缀树对象
// eor 前面N个数的异或和
// ans 子数组异或和的最大值 也就是我们要返回的值
Trie T;
int eor = 0;
int ans = INT_MIN;
for (auto x : arr) {
T.add(eor);
eor ^= x;
ans = max(ans, T.maxXor(eor));
}
return ans;
}
int main() {
vector<int> arr = { 3, 10, 5, 25, 2,};
int lnMaxXor = findMaxXorSubarray(arr);
cout << "最大子数组异或和为: " << lnMaxXor << endl;
return 0;
}两个数的最大异或和 （前缀树）
题目
本题为LC原题 题目如下
题目分析
有了上一题的经验我们要解决这题就简单多了
我们直接将数组中所有的数添加到前缀树中 之后遍历整个数组直接求出最大值即可 （时间复杂度N）
代码详解
cpp
// 定义Trie节点，表示二进制数的两个可能路径
class TrieNode {
public:
TrieNode* children[2]; // 0 和 1 的两个分支
TrieNode() {
children[0] = nullptr;
children[1] = nullptr;
}
};
// 定义Trie类
class Trie {
private:
TrieNode* root;
public:
// 构造函数，初始化根节点
Trie() {
root = new TrieNode();
}
// 添加前缀异或值到Trie树中
// move表示移动move位
// num 表示插入前缀树的值 0或1
void add(int lnNum) {
TrieNode* cur = root;
for (int move = 31; move >= 0; move--) {
int num = (lnNum >> move) & 1;
cur->children[num] = cur->children[num] == nullptr ? new TrieNode() : cur->children[num];
cur = cur->children[num];
}
}
// 返回当前值lnNum与Trie树中的值的最大异或值
// move 移动的位数
// lnNum 参数 求出与他异或和的最大值
// cur 当前节点
// ans 返回的答案 32位整数
int maxXor(int lnNum) {
TrieNode* cur = root;
int ans = 0;
for (int move = 31; move >=0; move--)
{
// lnBit 当前的位数的值 0或1
// Bset 期望走的路
int lnBit = (lnNum >> move) & 1;
int Best = lnBit ^ 1;
if (cur->children[Best] == nullptr)
{
Best ^= 1;
}
ans |= (Best ^ lnBit) << move;
cur = cur->children[Best];
}
return ans;
}
};
class Solution {
public:
// T TrieNode定义的
// ans 最后的答案
int findMaximumXOR(vector<int>& nums) {
Trie T;
int ans = 0;
for (auto x : nums) {
T.add(x);
}
for (auto x : nums) {
ans = max(ans , T.maxXor(x));
}
return ans;
}
};尼姆博弈问题 （公式）
题目描述
给定一个数组 数组内有N个正整数 两个人开始拿数 每个人每次只能拿数组中的一个数 (至少为1 至多为这个数的大小)
假设两个人的选择都绝对理性且绝对正确
现在给你一个数组 要求你返回先手赢还是后手赢
题目分析
这里直接给出公式
所有数组的异或和如果为0 则后手赢
如果异或和为0则先手赢
本体的本质是 先手要让后手每次拿到数时 异或和都变为0
而当一开始异或和不为0时 我们就能很轻松的做到这个效果 所以说如果所有数组的异或和不为0 则先手赢
代码详解
cpp
int eor = 0;
int ans = 0;
for (auto x : arr) {
ans ^= x;
}
return ans == 0;