Armstrong公理系统，也被称为Armstrong's axiom，是数据库领域中关于函数依赖的一个有效而完备的公理系统。以下是对Armstrong公理系统的详细解释：
一、定义与背景
定义：Armstrong公理系统设关系模式R<U,F>，其中U为属性集，F是U上的一组函数依赖。该系统提供了一套推理规则，用于从已知的函数依赖推导出新的函数依赖。
背景：函数依赖是数据库模式设计中的一个重要概念，它描述了属性或属性集之间的依赖关系。Armstrong公理系统为这种依赖关系提供了一套形式化的推理规则。
二、推理规则
Armstrong公理系统包含以下主要推理规则：
自反律（Reflexivity Rule）：若Y⊆X⊆U，则X→Y为F所蕴含。这意味着，如果一个属性集Y是另一个属性集X的子集，那么X可以函数依赖于Y。这是显而易见的，因为任何集合都至少与其自身有函数依赖关系。
增广律（Augmentation Rule）：若X→Y为F所蕴含，且Z⊆U，则XZ→YZ为F所蕴含。这个规则表明，如果X可以函数依赖于Y，那么增加任何额外的属性集Z到X和Y中，这种依赖关系仍然成立。
传递律（Transitivity Rule）：若X→Y及Y→Z为F所蕴含，则X→Z为F所蕴含。这个规则是函数依赖的传递性质，即如果X可以函数依赖于Y，且Y可以函数依赖于Z，那么X也可以函数依赖于Z。
三、其他有用的推理规则
基于上述三条基本推理规则，还可以推导出以下有用的推理规则：
合并规则（Union Rule）：若X→Y，X→Z，则X→YZ。这个规则表明，如果X可以分别函数依赖于Y和Z，那么X也可以函数依赖于Y和Z的并集。
伪传递规则（Pseudo Transitivity Rule）：若X→Y，WY→Z，则XW→Z。这个规则稍微复杂一些，它表明如果X可以函数依赖于Y，且WY（即W和Y的并集）可以函数依赖于Z，那么XW（即X和W的并集）也可以函数依赖于Z。
分解规则（Decomposition Rule）：若X→Y及Z⊆Y，则X→Z。这个规则表明，如果X可以函数依赖于Y，且Z是Y的子集，那么X也可以函数依赖于Z。
四、有效性与完备性
有效性：Armstrong公理系统的有效性指的是，由F出发根据Armstrong公理推导出来的每一个函数依赖一定在F的逻辑蕴含中。这意味着，使用这些推理规则推导出的函数依赖关系是有效的。
完备性：Armstrong公理系统的完备性指的是，对于F所逻辑蕴含的每一函数依赖，必定可以由F出发根据Armstrong公理系统推导出来。这意味着，这个公理系统能够推导出所有可能的函数依赖关系。
五、应用
Armstrong公理系统在数据库模式设计中有着广泛的应用。它可以帮助数据库设计师分析和优化数据库模式，确保数据的完整性和一致性。通过应用这些推理规则，设计师可以推导出数据库中的函数依赖关系，并据此设计有效的数据结构和查询策略。
Armstrong公理系统是数据库领域中关于函数依赖的一个有效而完备的公理系统。它提供了一套形式化的推理规则，用于从已知的函数依赖推导出新的函数依赖关系，并在数据库模式设计中发挥着重要作用。