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数学分析（第五版上册）华东师范大学数学科学学院编
有理函数
有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为
R ( x ) = P ( x ) Q ( x ) = α 0 x n + α 1 x n − 1 + ⋯ + α n β 0 x m + β 1 x m − 1 + ⋯ + β m R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac {\alpha_0x^n+\alpha_1x^{n-1}+\cdots+\alpha_n} {\beta_0x^m+\beta_1x^{m-1}+\cdots+\beta_m} R(x)=Q(x)P(x)=β0xm+β1xm−1+⋯+βmα0xn+α1xn−1+⋯+αn
其中 n , m n,m n,m 为非负整数
α 0 , α 1 , ⋯ , α n \alpha_0,\alpha_1,\cdots,\alpha_n α0,α1,⋯,αn 与 β 0 , β 1 , ⋯ , β n \beta_0,\beta_1,\cdots,\beta_n β0,β1,⋯,βn 都是常数，且 α 0 ≠ 0 , β 0 ≠ 0 \alpha_0\neq0,\beta_0\neq0 α0=0,β0=0
若 m > n m>n m>n ，则 R R R 为真分式；若 m ⩽ n m\leqslant n m⩽n ，则 R R R 为假分式
由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和
多项式的积分容易求得，此处只研究真分式的不定积分
++问题由从求有理函数的不定积分变为求真分式的不定积分++
部分分式分解
对分母 Q ( x ) Q(x) Q(x) 在实系数内作标准分解
Q ( x ) = ( x − a 1 ) λ 1 ⋯ ( x − a s ) λ s ( x 2 + p 1 x + q 1 ) μ 1 ⋯ ( x 2 + p t x + q t ) μ t Q(x)=(x-a_1)^{\lambda_1}\cdots(x-a_s)^{\lambda_s} (x^2+p_1x+q_1)^{\mu_1}\cdots(x^2+p_tx+q_t)^{\mu_t} Q(x)=(x−a1)λ1⋯(x−as)λs(x2+p1x+q1)μ1⋯(x2+ptx+qt)μt
其中 β 0 = 1 , λ i , μ i \beta_0=1,\lambda_i,\mu_i β0=1,λi,μi 均为自然数，而且
∑ i = 1 s λ i + 2 ∑ j = 1 t μ j = m , p j 2 − 4 q j < 0 \sum^s_{i=1}\lambda_i+2\sum^t_{j=1}\mu_j=m,p^2_j-4q_j<0 i=1∑sλi+2j=1∑tμj=m,pj2−4qj<0
++其实就是解方程 Q ( x ) = 0 Q(x)=0 Q(x)=0 。由于是在实系数内作标准分解，所以复数解以二次多项式的形式出现++
根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式
对于 ( x − a ) k (x-a)^k (x−a)k
A 1 x − a + A 2 ( x − a ) 2 + ⋯ + A k ( x − a ) k \frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\frac{A_k}{(x-a)^k} x−aA1+(x−a)2A2+⋯+(x−a)kAk
对于 ( x 2 + p x + q ) k (x^2+px+q)^k (x2+px+q)k
B 1 x + C 1 x 2 + p x + q + B 2 x + C 2 ( x 2 + p x + q ) 2 + B k x + C k ( x 2 + p x + q ) k \frac{B_1x+C_1}{x^2+px+q}+\frac{B_2x+C_2}{(x^2+px+q)^2}+ \frac{B_kx+C_k}{(x^2+px+q)^k} x2+px+qB1x+C1+(x2+px+q)2B2x+C2+(x2+px+q)kBkx+Ck
把所有部分分式加起来，使之等于 R R R
A i , B i , C i A_i,B_i,C_i Ai,Bi,Ci ++为待定系数++
++书上在写这之前，提了下多项式互素的性质，推出++
1 Q 1 Q 2 = P 1 Q 1 + P 2 Q 2 Q 1 Q 2 = P 1 Q 2 + P 2 Q 1 \frac{1}{Q_1Q_2}=\frac{P_1Q_1+P_2Q_2}{Q_1Q_2}= \frac{P_1}{Q_2}+\frac{P_2}{Q_1} Q1Q21=Q1Q2P1Q1+P2Q2=Q2P1+Q1P2
++但没有点明 P 1 , P 2 P_1,P_2 P1,P2 的次数是小于对应的 Q 2 , Q 1 Q_2,Q_1 Q2,Q1++
确定待定系数
一般方法是将所有部分分式通分相加
所得分式的分母即为原分母 Q Q Q
其分子亦应与原分子 P P P 相等
按同幂项系数相等，得到关于待定系数的线性方程组，求解得出待定系数
两种形式的不定积分
完成部分分式分解后，问题又变为求以下两种形式的不定积分
∫ d x ( x − a ) k , ∫ L x + M ( x 2 + p x + q ) k d x \int\frac{\mathrm{d}x}{(x-a)^k}, \int\frac{Lx+M}{(x^2+px+q)^k}\mathrm{d}x ∫(x−a)kdx,∫(x2+px+q)kLx+Mdx
前一种能直接看出来
∫ d x ( x − a ) k = { ln ∣ x − a ∣ + c , k = 1 1 ( 1 − k ) ( x − a ) k − 1 + c , k > 1 \int\frac{\mathrm{d}x}{(x-a)^k}= \begin{cases} \ln|x-a|+c&,k=1\\ \frac{1}{(1-k)(x-a)^{k-1}}+c&,k>1 \end{cases} ∫(x−a)kdx={ln∣x−a∣+c(1−k)(x−a)k−11+c,k=1,k>1
后一种就比较繁琐
令 t = x + p / 2 t=x+p/2 t=x+p/2 ，则
∫ L x + M ( x 2 + p x + q ) k d x = ∫ L t + N ( t 2 + r 2 ) k d t = L ∫ t d t ( t 2 + r 2 ) k + N ∫ d t ( t 2 + r 2 ) k \int\frac{Lx+M}{(x^2+px+q)^k}\mathrm{d}x= \int\frac{Lt+N}{(t^2+r^2)^k}\mathrm{d}t= L\int\frac{t\mathrm{d}t}{(t^2+r^2)^k}+ N\int\frac{\mathrm{d}t}{(t^2+r^2)^k} ∫(x2+px+q)kLx+Mdx=∫(t2+r2)kLt+Ndt=L∫(t2+r2)ktdt+N∫(t2+r2)kdt
其中 r 2 = q − p 2 / 4 , N = M − p L 2 r^2=q-p^2/4,N=M-\frac{pL}{2} r2=q−p2/4,N=M−2pL
当 k = 1 k=1 k=1 时
∫ t d t t 2 + r 2 = 1 2 ln ( t 2 + r 2 ) + c \int\frac{t\mathrm{d}t}{t^2+r^2}=\frac{1}{2}\ln(t^2+r^2)+c ∫t2+r2tdt=21ln(t2+r2)+c
∫ d t t 2 + r 2 = 1 r arctan t r + c \int\frac{\mathrm{d}t}{t^2+r^2}=\frac{1}{r}\arctan\frac{t}{r}+c ∫t2+r2dt=r1arctanrt+c
当 k > 1 k>1 k>1 时
第一个不定积分为
∫ t d t ( t 2 + r 2 ) k = 1 2 ( 1 − k ) ( t 2 + r 2 ) k − 1 + c \int\frac{t\mathrm{d}t}{(t^2+r^2)^k}=\frac{1} {2(1-k)(t^2+r^2)^{k-1}}+c ∫(t2+r2)ktdt=2(1−k)(t2+r2)k−11+c
对于第二个不定积分，记
I k = ∫ d t ( t 2 + r 2 ) k I_k=\int\frac{\mathrm{d}t}{(t^2+r^2)^k} Ik=∫(t2+r2)kdt
可用分部积分法导出递推公式如下
I k = t 2 r 2 ( k − 1 ) ( t 2 + r 2 ) k − 1 + 2 k − 3 2 r 2 ( k − 1 ) I k − 1 I_k=\frac{t}{2r^2(k-1)(t^2+r^2)^{k-1}}+\frac{2k-3}{2r^2(k-1)}I_{k-1} Ik=2r2(k−1)(t2+r2)k−1t+2r2(k−1)2k−3Ik−1
这就是求有理函数不定积分的一般方法