7.2 图像复原之空间滤波

Four o'clock2024-11-18 9:30

图像复原（只存在噪声的复原）之空间滤波

文章目录

  • 图像复原（只存在噪声的复原）之空间滤波
  • 前言
  • [1. 均值滤波器](#1. 均值滤波器)
    • [1.1 算术平均滤波器](#1.1 算术平均滤波器)
    • [1.2 几何均值滤波器](#1.2 几何均值滤波器)
    • [1.3 谐波平均滤波器](#1.3 谐波平均滤波器)
    • [1.4 反谐波平均滤波器](#1.4 反谐波平均滤波器)
  • 总结

前言

当一幅图像仅被加性噪声退化时，其退化模型可简化为： g ( x , y ) = f ( x , y ) + η ( x , y ) G ( u , v ) = F ( u , v ) + N ( u , v ) \begin{aligned} &g(x,y)=f(x,y)+\eta(x,y) \\ &G(u,v)=F(u,v)+N(u,v) \end{aligned} g(x,y)=f(x,y)+η(x,y)G(u,v)=F(u,v)+N(u,v)其中： g ( x , y ) [ 或 G ( u , v ) ] 表示退化后的图像 f ( x , y ) [ 或 F ( u , v ) ] 表示原图像 η ( x , y ) [ 或 N ( u , v ) ] 表示图像的噪声 \begin{aligned} &g(x,y)[或G(u,v)]\quad表示退化后的图像\\ &f(x,y)[或F(u,v)]\quad表示原图像 \\ &\eta(x,y)[或N(u,v)]\quad表示图像的噪声\\ \end{aligned} g(x,y)[或G(u,v)]表示退化后的图像f(x,y)[或F(u,v)]表示原图像η(x,y)[或N(u,v)]表示图像的噪声由于噪声项通常是未知的，因此我们 不能 想当然的以为得到原图像的方式为： f ( x , y ) = g ( x , y ) − η ( x , y ) F ( u , v ) = G ( u , v ) − N ( u , v ) \begin{aligned} &f(x,y)=g(x,y)-\eta(x,y) \\ &F(u,v)=G(u,v)-N(u,v) \end{aligned} f(x,y)=g(x,y)−η(x,y)F(u,v)=G(u,v)−N(u,v)对于只存在加性噪声的图像，可以使用空间滤波的方法来估计 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)

1. 均值滤波器

1.1 算术平均滤波器

算术平均滤波器是最简单的均值滤波器，与空间域滤波中的盒式滤波器完全相同。令： S x y 表示中心为 ( x , y ) 、大小为 m × n 的邻域 S_{xy}表示中心为(x,y)、大小为m\times n的邻域 Sxy表示中心为(x,y)、大小为m×n的邻域则复原的图像 ： f ^ ( x , y ) = 1 m n ∑ ( r , c ) ∈ S x y g ( r , c ) \hat{f}(x,y)=\frac {1} {mn}\sum_{(r,c)\in S_{xy}}g(r,c) f^(x,y)=mn1(r,c)∈Sxy∑g(r,c)用白话来说就是使用 ( x , y ) (x,y) (x,y) 的 m × n m\times n m×n 邻域的均值作为复原图像的像素值 **均值滤波会降低图像的噪声，但是也会模糊图像**。

算术平均滤波器复原图像的代码实现如下：

python 复制代码 
import cv2 as cv
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def imageRestoration(src, kernel):
    """
    图像复原-算术平均滤波器
    :param src: 需要复原的原图像
    :param kernel: 卷积核
    :return: 返回复原图像
    """
    img = cv.boxFilter(src, -1, kernel)  # cv2.boxFilter 方法 (默认normalize=True)
    return img


if __name__ == '__main__':
    img = cv.imread('Image/Fig0702.tif', 0)

    img1 = imageRestoration(img, (3, 3))
    img2 = imageRestoration(img, (9, 9))
    img3 = imageRestoration(img, (15, 15))

    # 图像显示
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    plt.rcParams['font.size'] = 20
    plt.figure(figsize=(10, 10))
    titleList = ["Original Image", "3*3", "9*9", "15*15"]
    imageList = [img, img1, img2, img3]

    for i in range(4):
        plt.subplot(2, 2, i + 1), plt.title(titleList[i]), plt.axis('off')
        plt.imshow(imageList[i], vmin=0, vmax=255, cmap='gray')
    plt.tight_layout()
    plt.savefig("Image/tmp.png")
    plt.show()

结果分析 ：

如上图所示：原图像是一张被加性高斯噪声污染的图像，其分别使用3*3、9*9、15*15的算术平均滤波器进行复原处理，可以看出虽然算术平均滤波器可以进行图像复原，但同时也会造成图像模糊。

1.2 几何均值滤波器

几何均值滤波器图像复原的公式如下，令：
S x y 表示中心为 ( x , y ) 、大小为 m × n 的邻域 S_{xy}表示中心为(x,y)、大小为m\times n的邻域 Sxy表示中心为(x,y)、大小为m×n的邻域则复原的图像 ： f ^ ( x , y ) = [ ∏ ( r , c ) ∈ S x y g ( r , c ) ] 1 m n \hat{f}(x,y)={\left[\prod_{(r,c)\in S_{xy}}g(r,c)\right]}^{\frac{1}{mn}} f^(x,y)= (r,c)∈Sxy∏g(r,c) mn1简单来说几何均值就是先求取中心点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 的 m × n m\times n m×n 领域的像素之积，然后对像素之积求 1 m n \frac{1}{mn} mn1 次幂。

算术平均滤波器复原图像的代码实现如下：

python 复制代码 
import cv2 as cv
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def ArithmenticMeanFilter(src, kernel):
    """
    图像复原-算数平均滤波器
    :param src: 需要复原的原图像
    :param kernel: 卷积核
    :return: 返回复原图像
    """
    img = cv.boxFilter(src, -1, kernel)  # cv2.boxFilter 方法 (默认normalize=True)
    return img


def GeometricMeanFilter(src, kernel):
    """
    图像复原-几何平均滤波器
    :param src: 原图像
    :param kernel: 卷积核的大小
    :return:
    """

    # 将图像转换为浮点数，以避免计算过程中出现溢出
    src = src.astype(np.float32) + 1e-10  # 防止取对数时出现零
    rows, cols = src.shape # 图像的大小

    # 进行几何平均值计算时，边缘像素会无法处理，因此需要对边缘像素进行填充
    pad_size = kernel // 2  # 边缘填充的大小
    padded_image = np.pad(src, pad_size, mode='reflect')  # 对边缘进行填充

    # 遍历图像每个像素，并计算几何均值
    output = np.zeros_like(src)
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            # 获取邻域
            region = padded_image[i:i + kernel, j:j + kernel]
            # 计算邻域内像素的几何均值
            mean = np.exp(np.mean(np.log(region)))
            output[i, j] = mean

    # 计算出来的结果是浮点数，需要将浮点数转换为8位整数
    output = np.clip(output, 0, 255).astype(np.uint8)
    return output

if __name__ == '__main__':
    img = cv.imread('Image/Fig0702.tif', 0)

    img1 = ArithmenticMeanFilter(img, (3, 3))
    img2 = GeometricMeanFilter(img, 3)
    img3 = ArithmenticMeanFilter(img, (9, 9))
    img4 = GeometricMeanFilter(img, 9)

    # 图像显示
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    plt.rcParams['font.size'] = 20
    plt.figure(figsize=(30, 20))
    titleList = ["Original Image", "Arithmentic Mean Filter 3*3", "Geometric Mean Filter 3*3", "Original Image", "Arithmentic Mean Filter 9*9", "Geometric Mean Filter 9*9"]
    imageList = [img, img1, img2, img, img3, img4]

    for i in range(6):
        plt.subplot(2, 3, i + 1), plt.title(titleList[i]), plt.axis('off')
        plt.imshow(imageList[i], vmin=0, vmax=255, cmap='gray')
    plt.tight_layout()
    plt.savefig("Image/tmp.png")
    plt.show()

结果分析 ：

如上图所示：原图像依旧是那张被加性高斯噪声污染的图像，其分别使用算术平均滤波器和几何平均滤波器进行复原处理，可以看出这两种滤波器都可以进行降噪处理，但是几何平均滤波器对图像的模糊效果要少一些，特别是当卷积核大的时候更加明显。

1.3 谐波平均滤波器

谐波平均滤波器图像复原的公式如下，令：
S x y 表示中心为 ( x , y ) 、大小为 m × n 的邻域 S_{xy}表示中心为(x,y)、大小为m\times n的邻域 Sxy表示中心为(x,y)、大小为m×n的邻域则复原的图像 ： f ^ ( x , y ) = m n ∑ ( r , c ) ∈ S x y 1 g ( r , c ) \hat{f}(x,y)=\frac{mn}{\sum_{(r,c)\in S_{xy}}\frac{1}{g(r,c)}} f^(x,y)=∑(r,c)∈Sxyg(r,c)1mn简单解释一下。

  • 第一步：用 1 1 1 除以领域内每个像素的值，即 1 g ( r , c ) \frac{1}{g(r,c)} g(r,c)1 。
  • 第二步：对第一步的结果求和，即 ∑ ( r , c ) ∈ S x y 1 g ( r , c ) \sum_{(r,c)\in S_{xy}} \frac{1}{g(r,c)} ∑(r,c)∈Sxyg(r,c)1。
  • 第三步：用 m n mn mn 除以第二步的结果。

谐波平均滤波器复原图像的代码实现如下：

python 复制代码 
import cv2 as cv
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def ArithmenticMeanFilter(src, kernel):
    """
    图像复原-算数平均滤波器
    :param src: 需要复原的原图像
    :param kernel: 卷积核
    :return: 返回复原图像
    """
    img = cv.boxFilter(src, -1, kernel)  # cv2.boxFilter 方法 (默认normalize=True)
    return img


def GeometricMeanFilter(src, kernel):
    """
    图像复原-几何平均滤波器
    :param src: 原图像
    :param kernel: 卷积核的大小
    :return:
    """

    # 将图像转换为浮点数，以避免计算过程中出现溢出
    src = src.astype(np.float32) + 1e-10  # 防止取对数时出现零
    rows, cols = src.shape  # 图像的大小

    # 进行几何平均值计算时，边缘像素会无法处理，因此需要对边缘像素进行填充
    pad_size = kernel // 2  # 边缘填充的大小
    padded_image = np.pad(src, pad_size, mode='reflect')  # 对边缘进行填充

    # 遍历图像每个像素，并计算几何均值
    output = np.zeros_like(src)
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            # 获取邻域
            region = padded_image[i:i + kernel, j:j + kernel]
            # 计算邻域内像素的几何均值
            mean = np.exp(np.mean(np.log(region)))
            output[i, j] = mean

    # 计算出来的结果是浮点数，需要将浮点数转换为8位整数
    output = np.clip(output, 0, 255).astype(np.uint8)
    return output


def HarmonicMeanFilter(src, kernel):
    """
    图像复原-谐波平均滤波器
    :param src: 原图像
    :param kernel: 卷积核的大小
    :return:
    """

    # 将图像转换为浮点数，以避免计算过程中出现溢出
    src = src.astype(np.float32) + 1e-10  # 防止取对数时出现零
    rows, cols = src.shape  # 图像的大小

    # 进行几何平均值计算时，边缘像素会无法处理，因此需要对边缘像素进行填充
    pad_size = kernel // 2  # 边缘填充的大小
    padded_image = np.pad(src, pad_size, mode='reflect')  # 对边缘进行填充

    # 遍历图像每个像素，并计算几何均值
    output = np.zeros_like(src)
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            # 获取邻域
            region = padded_image[i:i + kernel, j:j + kernel]
            # 计算邻域内像素的几何均值
            mean = (kernel * kernel) / np.sum(1.0 / (region + 1e-10))  # 加上小值避免除零
            output[i, j] = mean

    # 计算出来的结果是浮点数，需要将浮点数转换为8位整数
    output = np.clip(output, 0, 255).astype(np.uint8)
    return output


if __name__ == '__main__':
    img = cv.imread('Image/Fig0702.tif', 0)

    img1 = ArithmenticMeanFilter(img, (3, 3))
    img2 = GeometricMeanFilter(img, 3)
    img3 = HarmonicMeanFilter(img, 3)

    # 图像显示
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    plt.rcParams['font.size'] = 20
    plt.figure(figsize=(20, 20))
    titleList = ["Original Image", "Arithmentic Mean Filter 3*3", "Geometric Mean Filter 3*3",
                 "Harmonic Mean Filter 3*3"]
    imageList = [img, img1, img2, img3]

    for i in range(4):
        plt.subplot(2, 2, i + 1), plt.title(titleList[i]), plt.axis('off')
        plt.imshow(imageList[i], vmin=0, vmax=255, cmap='gray')
    plt.tight_layout()
    plt.savefig("Image/tmp.png")
    plt.show()

结果分析 ：

如上图所示：原图像依旧是那张被加性高斯噪声污染的图像，其分别使用算术平均滤波器、几何平均滤波器和谐波平均滤波器进行复原处理，可以看出这三种滤波器都可以对高斯噪声进行降噪处理。

1.4 反谐波平均滤波器

谐波平均滤波器图像复原的公式如下，令：
S x y 表示中心为 ( x , y ) 、大小为 m × n 的邻域 S_{xy}表示中心为(x,y)、大小为m\times n的邻域 Sxy表示中心为(x,y)、大小为m×n的邻域则复原的图像 ： f ^ ( x , y ) = ∑ ( r , c ) ∈ S x y g ( r , c ) Q + 1 ∑ ( r , c ) ∈ S x y g ( r , c ) Q \hat{f}(x,y)=\frac{\sum_{(r,c)\in S_{xy}}g(r,c)^{Q+1}}{\sum_{(r,c)\in S_{xy}}g(r,c)^{Q}} f^(x,y)=∑(r,c)∈Sxyg(r,c)Q∑(r,c)∈Sxyg(r,c)Q+1简单解释一下，式中：

  • Q Q Q 称为滤波器的阶数，这种滤波器适用于降低或消除噪声 。
  • Q Q Q 为正值时，该滤波器消除胡椒噪声。
  • Q Q Q 为负值时，该滤波器消除盐粒噪声。
  • 然而，该滤波器不能同时消除这两种噪声。
  • Q = 0 Q=0 Q=0 时，反谐波平均滤波器简化为算数平均滤波器。
  • Q = − 1 Q=-1 Q=−1时，反谐波平均滤波器简化为谐波平均滤波器。

反谐波平均滤波器复原图像的代码实现如下：

python 复制代码 
import cv2 as cv
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def Inv_HarmonicMeanFilter(src, kernel, Q):
    """
    图像复原-反谐波平均滤波器
    :param src: 原图像
    :param kernel: 卷积核的大小
    :param Q: 滤波器的阶数
    :return:
    """

    # 将图像转换为浮点数，以避免计算过程中出现溢出
    src = src.astype(np.float32) + 1e-10  # 防止取对数时出现零
    rows, cols = src.shape  # 图像的大小

    # 进行几何平均值计算时，边缘像素会无法处理，因此需要对边缘像素进行填充
    pad_size = kernel // 2  # 边缘填充的大小
    padded_image = np.pad(src, pad_size, mode='reflect')  # 对边缘进行填充

    # 遍历图像每个像素，并计算几何均值
    output = np.zeros_like(src)
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            # 获取邻域
            region = padded_image[i:i + kernel, j:j + kernel]
            # 计算分子和分母
            numerator = np.sum(np.power(region, Q + 1))
            denominator = np.sum(np.power(region, Q) + 1e-10)  # 加小值避免除零
            # 计算反谐波均值
            output[i, j] = numerator / denominator

    # 计算出来的结果是浮点数，需要将浮点数转换为8位整数
    output = np.clip(output, 0, 255).astype(np.uint8)
    return output


if __name__ == '__main__':
    pepperImg = cv.imread('Image/Fig0703.tif', 0)  # 胡椒噪声图像
    saltImage = cv.imread('Image/Fig0704.tif', 0)  # 盐粒噪声图像

    img1 = Inv_HarmonicMeanFilter(pepperImg, 3, 1.5)
    img2 = Inv_HarmonicMeanFilter(saltImage, 3, -1.5)

    # 当阶数取反，则会出现灾难性后果
    img3 = Inv_HarmonicMeanFilter(pepperImg, 3, -1.5)
    img4 = Inv_HarmonicMeanFilter(saltImage, 3, 1.5)

    # 图像显示
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    plt.rcParams['font.size'] = 20
    plt.figure(figsize=(20, 30))
    titleList = ["Original Pepper Image", "Original Salt Image", "Inv_Harmonic Mean Filter Q = 1.5",
                 "Inv_Harmonic Mean Filter Q = -1.5", "Q = -1.5", "Q = 1.5"]
    imageList = [pepperImg, saltImage, img1, img2, img3, img4]

    for i in range(6):
        plt.subplot(3, 2, i + 1), plt.title(titleList[i]), plt.axis('off')
        plt.imshow(imageList[i], vmin=0, vmax=255, cmap='gray')
    plt.tight_layout()
    plt.savefig("Image/tmp.png")
    plt.show()

结果分析 ：

上图中第一和第二张图像分别是胡椒噪声图像和盐粒噪声图像，接下来使用了反谐波平均滤波器对图像进行了复原处理，可以看出效果相当不错，但是反谐波平均滤波器有一个缺点，就是必须要提前知道是胡椒噪声还是盐粒噪声，否则会出现上面第五、第六张图像的问题。

总结

滤波器类型 定义 适用噪声类型 对噪声的处理效果 保留图像细节的能力
算术平均滤波器 对邻域内像素值求算术平均 高斯噪声 对高斯噪声效果较好 易模糊边缘细节
几何平均滤波器 对邻域内像素值求几何平均 乘性噪声、对数噪声 对高斯噪声效果一般 能保留更多细节
谐波平均滤波器 对邻域内像素值求倒数平均 盐噪声（高亮噪声） 抑制盐噪声效果好 边缘保留较好
反谐波平均滤波器 根据参数 Q Q Q 有选择性地去噪 椒盐噪声（混合噪声） 盐噪声或椒噪声（依赖 Q Q Q 值） 灵活去噪能力强
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