【Python刷题】动态规划相关问题

动态规划 (Dynamic Programming,简称 DP)是一种用于解决多阶段决策最优化问题的算法策略。它通过把原问题分解为相对简单的子问题,记录子问题的解(通常使用表格等数据结构存储),避免重复计算,从而高效地解决复杂的全局最优问题。

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小红取数

小红取数

算法思路

由于不同的选择组合,除以k后得到的余数也不相同,当选择一个数加上后,所得到的新值除以k后余数有可能会发生变化,而为了将这些值都能存起来并且找出最大的且余数为0的组合,我们要使用动态规划。因为能产生的余数有k中情况,于是创建一个长度为kdp数组。j作为dp数组的索引也表示相应位置存放的数值除k后的余数,所以最终的答案一定是dp[0]上的数。动态规划的初始状态就是所有数都不选,即和为0的时候余数为0,所以dp[0]初始设为0而其余的位置设为负无穷。用num遍历数组中的每个数,然后尝试加到dp数组中的每一个值上,得到新值为dp[j]+num,很容易会想到这个新值除以k的余数为(dp[j]+num)%k。但是!如果用(dp[j]+num)%k作为索引去访问dp中的元素就出现了bug,这是因为我们初始化的时候把索引0后的位置设为了负无穷,这样导致产生了无效的索引。为了能成功访问到新值除以k后的余数所对应的位置,可以利用同余的性质,当前位置的数除以k的余数为j是规定好的,而这个数在加上num之后,他除以k后的余数就为(j+num%k)%k。接着找到余数为(j+num%k)%k的位置上的值dp[(j+num%k)%k]dp[j]+num作比较,取较大者更新即可。而为了避免产生垃圾数据,在循环内部的操作都是在dp的副本数组上实现的,循环结束后再更新原dp数组

代码实现

python 复制代码
n,k = map(int, input().split())
a = list(map(int, input().split()))
dp = [float('-inf')]*k
dp[0] = 0 
for num in a:
    new_dp = dp[:]# 复制一份dp
    for j in range(k):# 遍历每个余数所对应的位置
        new_dp[(j+num%k)%k] = max(new_dp[(j+num%k)%k], dp[j]+num)
        # 如果当前余数的位置上的值加上num后得到的这个数大于这个数除k的余数的位置上的值,则更新
    dp = new_dp# 更新dp
print(dp[0] if dp[0] > 0 else -1)
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