1. 前缀和的定义
对于一个给定的数列A，他的前缀和数中 S 中 S i 表示从第一个元素到第 i 个元素的总和。
如下图：绿色区域的和就是前缀和数组中的 S 6 。
2. 一维前缀和
2.1 计算公式
前缀和数组的每一项是可以通过原序列以递推的方式推出来的，递推公式就是：S i = S i - 1 + A i 。S i - 1 表示前 i - 1 个元素的和，在这基础上加上 A i ，就得到了前 i 个元素的和 S i 。
2.2 用途
一维前缀和的主要用途：求一个序列中某一段区间中所有元素的和。有如下例子：
有一个长度为 n 的整数序列。
接下来输入 m 个询问，每个询问输入一对 l，r。
对于每个询问，输出原序列中第 l 个数到第 r 个数的和。
这边是对前缀和的应用，如果用常规的方法：从 l 到 r 遍历一遍，则需要O(N)的时间复杂度。但是有前缀和数组的话，我们可以直接利用公式：sum = S r - S l - 1 ，其中sum是区间中元素的总和，l 和 r 就是区间的边界。下图可帮助理解这个公式。
当我们要求的是序列 A 的前 n 个数之和时，如果我们是从下标为 0 的位置开始存储前缀和数组，此公式：sum = S r - S l - 1 显然就无法使用了，为了是这个公式适用于所有情况，我们将从下标为 1 的位置开始存储前缀和，并且将下标为 0 的位置初始化为 0。
3. 步骤与题解
首先就是要构造一个和目标数组等长的一个前缀和数组pre\[\]，前缀和数组公式为prei=prei-1+numsi;也就是前一项的和+当前位置的值就是当前位置的前缀和。
那么假设我们相求j,i这个范围内的子数组就为prei-prej-1=k;移项就可以知道目标为k的符合的需要满足
prej-1=prei-k; 也就是当前项的前缀和减去目标值pre-traget。
所以我们考虑以 i 结尾的和为 k 的连续子数组个数时只要统计有多少个前缀和为 pre *i* −k 的 pre *j* 即可，那么就可以通过一个map来记录，只需要记录prei出现的次数即可。
模板步骤：
int pre=0; //前缀和
int traget=0; //目标值
HashMap<Integer,Integer> map=new HashMap<Integer,Integer>;
map.put(0,1); //注意前缀和数组或者map一定要初始化 (0,1)
for(int i=0;i<nums.length;i++){
pre+=nums[i]; //当前前缀和
map.getOrDefault(pre-traget,0); //获取符合目标的值
map.put(pre,map.getOrDefault(pre,0)+1);//然后将当前的前缀和加入到结果中
}
代码：
class Solution {
Map<Long,Integer> map=new HashMap<>(); //保存前缀和结果
int target=0; //结果
public int pathSum(TreeNode root, int targetSum) {
//前缀和+递归
target=targetSum; //目标结果
map.put(0L,1); //前缀和为0的个数至少为一个
return dfs(root,0L);
}
public int dfs(TreeNode node,Long count){ //节点 count为当前节点需要达到的目标数
if(node==null){
return 0;
}
count=count+node.val; // 当前前缀树的值：10
int result=0;
result=map.getOrDefault(count-target,0); //当前前缀树的值减去目标值 10-22 代表当前节点的前缀和为 -12
map.put(count,map.getOrDefault(count,0)+1); //key就是当前前缀和 将当前前缀和的值保存
int left=dfs(node.left,count); //遍历左边
int right=dfs(node.right,count);//遍历右边
map.put(count,map.get(count)-1); //子节点回溯后应该将结果减掉 避免影响右子树结果
return result+left+right;
}
}由于二叉树的递归特殊性，会先递归到最深的子树节点，然后返回上一个节点执行右递归，那么左子结点回溯后的结果肯定不能去影响右子树的节点值的计算（因为只操作一个map，而不是为每一条路径生成map），所以就需要再回溯前将当前节点的值减掉。
思路：
代码：
class Solution {
public int subarraySum(int[] nums, int k) {
HashMap<Integer,Integer> map=new HashMap<>(); //构造前缀和map key 为前缀和
int result=0; //结果个数
map.put(0,1); //必须初始化 0,1
int value=0;
for(int i=0;i<nums.length;i++){
value+=nums[i]; //当前前缀和的值
result+=map.getOrDefault(value-k,0); //查看当前前缀和-k 在map中是否能找到如果有则代表是结果 取得其值 如果没有则为0
//取值完后需要将当前前缀和put进去 key为当前前缀和 value为该前缀和的值
map.put(value,map.getOrDefault(value,0)+1);
}
return result;
}
}