给你一棵 完全二叉树 的根节点 root ，求出该树的节点个数。
完全二叉树 的定义如下：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层，则该层包含 1~ 2h 个节点。
示例 1：
输入：root = 1,2,3,4,5,6
输出：6
示例 2：
输入：root = \[\]
输出：0
示例 3：
输入：root = 1
输出：1
提示：
树中节点的数目范围是0, 5 \* 104
0 <= Node.val <= 5 * 104
题目数据保证输入的树是 完全二叉树
进阶：遍历树来统计节点是一种时间复杂度为 O(n) 的简单解决方案。你可以设计一个更快的算法吗？
步骤1：题目分析
问题性质：
本问题要求计算给定完全二叉树的节点数。
输入条件：
- 树的根节点
root。 - 树是完全二叉树（完全二叉树定义见题目）。
输出条件：
- 返回完全二叉树的节点个数。
限制条件：
- 树中节点的范围是
[0, 5 * 10^4]。 - 节点值范围是
[0, 5 * 10^4]。 - 完全二叉树性质 ：
- 除了最底层，其余层的节点数达到最大值。
- 最底层节点集中在最左侧。
边界条件：
- 树为空（
root = []）。 - 树只有一个节点。
- 树的最底层部分节点缺失，但仍满足完全二叉树性质。
步骤2：解题思路
方法1：朴素解法（时间复杂度 O(n)）
- 思想：遍历整个树，统计所有节点数量。
- 实现方式：使用递归或迭代方式实现树的遍历。
- 时间复杂度：O(n)，因为需要访问每个节点。
- 缺点：没有利用完全二叉树的性质优化。
方法2：利用完全二叉树性质（时间复杂度 O(log²n)）
- 思想 ：完全二叉树的性质可以帮助我们快速计算节点个数：
- 若树是满二叉树（所有节点都填满），节点总数为
2^h - 1，其中h是树的深度。 - 如果树不是满二叉树，可以递归地判断左右子树：
- 通过计算左右子树的高度，判断左子树是否是满二叉树：
- 若左子树高度等于右子树高度，则左子树为满二叉树，节点数为
2^h - 1。 - 否则，递归到右子树进行计算。
- 若左子树高度等于右子树高度，则左子树为满二叉树，节点数为
- 通过计算左右子树的高度，判断左子树是否是满二叉树：
- 若树是满二叉树（所有节点都填满），节点总数为
- 时间复杂度 ：
- 对于完全二叉树，树的深度为 O(logn)，递归每次减少一半的节点。
- 每次递归需要计算树的高度（O(logn)）。
- 总时间复杂度：O(log²n)。
- 空间复杂度：O(logn)（递归栈深度）。
步骤3：C++代码实现
代码注释说明：
computeDepth函数 ：- 计算完全二叉树的深度，只需沿着左子树遍历即可，时间复杂度 O(logn)。
countNodes函数 ：- 递归判断左右子树是否为满二叉树。
- 若是满二叉树，直接通过公式计算节点数量，无需遍历。
- 若不是，递归到子树继续判断。
步骤4：解决问题的启发
- 利用特定数据结构的性质 ：
- 本题通过完全二叉树的特殊性质大幅优化节点统计效率。设计高效算法时，理解数据结构的特性是关键。
- 数学与递归的结合 ：
- 使用数学公式（满二叉树节点数公式）结合递归分治法，解决问题的效率远高于直接遍历。
- 时间复杂度的改进 ：
- 从 O(n) 优化到 O(log²n)，体现了算法优化的重要性。
步骤5：算法在实际生活中的应用
实际应用场景：数据库索引结构
完全二叉树的性质和节点统计方法可用于数据库索引优化：
- 场景 ：
- 数据库的 B+ 树索引结构中，节点数量可以通过类似的递归计算方法快速统计。
- 例如，统计某个范围内的数据条目数量。
- 实现方法 ：
- 利用 B+ 树的分层结构和满二叉树性质，通过计算左子树和右子树的深度快速确定数据范围的节点数量。
实际示例：文件系统节点统计
文件系统中，完全二叉树常用于模拟目录和文件的结构。计算某个子目录下的文件总数时，可以采用类似的递归计算方法，快速得出结果，而无需遍历整个目录结构。