leetcode909：蛇梯棋

给你一个大小为 n x n 的整数矩阵 board ，方格按从 1 到 n2 编号，编号遵循转行交替方式，从左下角开始 （即，从 board[n - 1][0] 开始）的每一行改变方向。

你一开始位于棋盘上的方格 1。每一回合，玩家需要从当前方格 curr 开始出发，按下述要求前进：

选定目标方格 next ，目标方格的编号在范围 [curr + 1, min(curr + 6, n2)] 。
- 该选择模拟了掷 六面体骰子 的情景，无论棋盘大小如何，玩家最多只能有 6 个目的地。
传送玩家：如果目标方格 next 处存在蛇或梯子，那么玩家会传送到蛇或梯子的目的地。否则，玩家传送到目标方格 next 。
当玩家到达编号 n2 的方格时，游戏结束。

如果 board[r][c] != -1 ，位于 r 行 c 列的棋盘格中可能存在 "蛇" 或 "梯子"。那个蛇或梯子的目的地将会是 board[r][c]。编号为 1 和 n2 的方格不是任何蛇或梯子的起点。

注意，玩家在每次掷骰的前进过程中最多只能爬过蛇或梯子一次：就算目的地是另一条蛇或梯子的起点，玩家也不能继续移动。

举个例子，假设棋盘是 [[-1,4],[-1,3]] ，第一次移动，玩家的目标方格是 2 。那么这个玩家将会顺着梯子到达方格 3 ，但不能顺着方格 3 上的梯子前往方格 4 。（简单来说，类似飞行棋，玩家掷出骰子点数后移动对应格数，遇到单向的路径（即梯子或蛇）可以直接跳到路径的终点，但如果多个路径首尾相连，也不能连续跳多个路径）

返回达到编号为 n2 的方格所需的最少掷骰次数，如果不可能，则返回 -1。

示例 1：

复制代码

输入：board = [[-1,-1,-1,-1,-1,-1],[-1,-1,-1,-1,-1,-1],[-1,-1,-1,-1,-1,-1],[-1,35,-1,-1,13,-1],[-1,-1,-1,-1,-1,-1],[-1,15,-1,-1,-1,-1]]
输出：4
解释：
首先，从方格 1 [第 5 行，第 0 列] 开始。 
先决定移动到方格 2 ，并必须爬过梯子移动到到方格 15 。
然后决定移动到方格 17 [第 3 行，第 4 列]，必须爬过蛇到方格 13 。
接着决定移动到方格 14 ，且必须通过梯子移动到方格 35 。 
最后决定移动到方格 36 , 游戏结束。 
可以证明需要至少 4 次移动才能到达最后一个方格，所以答案是 4 。

示例 2：

复制代码

输入：board = [[-1,-1],[-1,3]]
输出：1

提示：

n == board.length == board[i].length
2 <= n <= 20
board[i][j] 的值是 -1 或在范围 [1, n2] 内
编号为 1 和 n2 的方格上没有蛇或梯子

步骤1：定义计算问题性质

输入：
- 一个大小为 n×nn \times nn×n 的二维整数矩阵 board。
- 矩阵中的每个元素要么是 -1（无蛇或梯子），要么是一个整数，表示目标方格的编号。
- board[i][j] 表示棋盘第 iii 行第 jjj 列格子的状态。
输出：
- 达到编号为 n2n^2n2 的方格所需的最少掷骰次数。如果无法到达，返回 -1。
约束条件：
- 2≤n≤202 \leq n \leq 202≤n≤20。
- 每次掷骰子后，玩家最多可以前进 6 格。
- 蛇和梯子的起点和终点在棋盘上有对应编号。编号 111 和 n2n^2n2 的格子上没有蛇或梯子。
潜在边界条件：
- 棋盘上没有蛇或梯子。
- 棋盘中存在死循环（多个蛇或梯子互相连接）。
- n=2n = 2n=2 或 n=20n = 20n=20 的极限大小。

步骤2：问题分解与算法设计

1. 将棋盘映射为一维数组

二维矩阵 boardboardboard 的格子编号从左下角开始，转行交替方式编号。
通过一个辅助函数实现编号和坐标的相互映射，便于后续算法处理。

2. 采用广度优先搜索（BFS）

核心思路：
- BFS 模拟骰子的移动过程，计算从起点 111 到终点 n2n^2n2 的最少步数。
- BFS 保证了搜索路径中每一步都是最短路径。
步骤：
1. 从起点 111 开始。
2. 模拟掷骰子，每次掷骰后计算目标方格（最多前进 6 格）。
3. 检查目标方格是否有蛇或梯子，更新位置。
4. 如果到达终点 n2n^2n2，记录步数并返回。
5. 如果无法继续前进，返回 -1。

3. 复杂度分析

时间复杂度：O(n2)O(n^2)O(n2)，每个节点最多访问一次。
空间复杂度：O(n2)O(n^2)O(n2)，用于存储访问状态。

步骤3：C++代码实现

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    // 辅助函数：将二维坐标映射到一维编号
int getId(int row, int col, int n) {
    if (row % 2 == n % 2) {
        return row * n + (n - 1 - col);
    } else {
        return row * n + col;
    }
}

// 主函数：计算最少掷骰次数
int snakesAndLadders(vector<vector<int>>& board) {
    int n = board.size();
    vector<int> flatBoard(n * n + 1, -1); // 将棋盘展平成一维数组
    int id = 1;

    for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            int col = (i % 2 == n % 2) ? n - 1 - j : j;
            flatBoard[id++] = board[i][col];
        }
    }

    queue<pair<int, int>> q; // 队列存储（当前位置，步数）
    vector<bool> visited(n * n + 1, false);
    q.push({1, 0}); // 从起点 1 开始
    visited[1] = true;

    while (!q.empty()) {
        auto [curr, steps] = q.front();
        q.pop();

        for (int dice = 1; dice <= 6; ++dice) {
            int next = curr + dice;
            if (next > n * n) break; // 超出棋盘范围

            if (flatBoard[next] != -1) {
                next = flatBoard[next]; // 遇到蛇或梯子
            }

            if (next == n * n) {
                return steps + 1; // 到达终点
            }

            if (!visited[next]) {
                visited[next] = true;
                q.push({next, steps + 1});
            }
        }
    }

    return -1; // 无法到达终点
}

};

步骤4：解题启发

BFS 的优越性：
- 广度优先搜索在寻找最短路径问题中十分高效，尤其适合树形或图形结构。
- 在飞行棋或迷宫问题中，BFS 是一个基础且可靠的算法。
问题分解的重要性：
- 本题中棋盘的编号映射是核心，分解问题后算法实现更直观。

步骤5：实际应用场景

应用场景：飞行棋游戏优化
- 例如：自动驾驶飞行棋 AI 玩家决策。
- 实现方法：
  - 使用 BFS 预先计算最优路径。
  - 根据当前棋盘状态调整 AI 策略。
物流调度路径规划
- 本算法思想可用于模拟物流配送中的路径规划，特别是有额外加速或延迟条件的复杂网络。