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模糊综合评价
文章目录
- 模糊综合评价
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- 模糊数学
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- 经典集合和模糊集合的基本概念
- 隶属函数的确定方法
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- [方法一 模糊统计法](#方法一 模糊统计法)
- [方法二 借助已有的客观尺度](#方法二 借助已有的客观尺度)
- [方法三 指派法（最常用）](#方法三 指派法（最常用）)
- [应用 ：模糊综合评价](#应用 ：模糊综合评价)
-
- 评价问题概述
- 一级模糊综合评价
-
- [第一步 确定三个集合](#第一步 确定三个集合)
- [第二步 确定模糊综合判断矩阵](#第二步 确定模糊综合判断矩阵)
- [第三步 综合评判](#第三步 综合评判)
- 例：某单位对员工的年终综合评定
- 例：某露天煤矿的设计方案的选择
- 多级模糊综合评价
模糊数学
1965年美国控制论专家L.A.Zadeh发表的论文"Fuzzy sets"标志模糊数学诞生。模糊数学又称Fuzzy 数学，是研究和处理模糊性现象的⼀种数学理论和方法。由于模糊性概念已经找到了模糊集的描述方式，人们运用概念进行判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以用模糊性数学的方法来描述。
经典集合和模糊集合的基本概念
经典集合和特征函数
集合 ：既有相同属性的事物的集体 互斥性 确定性 非此即彼
特征函数 ： f A : ℧ → { 0 , 1 } f_A: \mho \to \{0,1\} fA:℧→{0,1}
℧ \mho ℧: 论域 （我们感兴趣的一些对象的集合）； f A f_A fA表示A集合的特征函数
举例： ℧ \mho ℧为全班成绩的集合， A A A为成绩及格的集合
f A = { 1 , x ∈ A ( x ≥ 60 ) 0 , x ∉ A ( x < 60 ) ∀ x ∈ ℧ \begin{equation} \begin{aligned} f_A &= \left\{ \begin{array}{rl} 1, & x\in A & (x\geq 60)\\ 0, & x\notin A & (x<60) \\ \end{array} \right. &&& \forall x \in \mho \end{aligned} \end{equation} fA={1,0,x∈Ax∈/A(x≥60)(x<60)∀x∈℧
模糊集合和隶属函数
模糊集合 ：用来描述模糊性概念的集合 承认亦此亦彼
隶属函数 ： u A : ℧ → [ 0 , 1 ] u_A: \mho \to [0,1] uA:℧→[0,1]
举例： ℧ \mho ℧为一群人年龄的集合， A A A="年轻"
u A = { 1 , 0 < x < 20 40 − x 20 , 20 ≤ x ≤ 40 0 , x > 40 ∀ x ∈ ℧ \begin{equation} \begin{aligned} u_A &= \left\{ \begin{array}{rl} 1, & 0<x<20\\ \frac{40-x}{20}, & 20 \leq x \leq 40 \\ 0, & x>40 \\ \end{array} \right. &&& \forall x \in \mho \end{aligned} \end{equation} uA=⎩ ⎨ ⎧1,2040−x,0,0<x<2020≤x≤40x>40∀x∈℧
对于 ℧ \mho ℧中的每一个元素，均对应A中的一个隶属度，介于 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]，越大表示越属于这种集合。
模糊集合的分类
- 偏小型：年轻 冷
- 中间型：中年 暖
- 偏大型：老年 热
隶属函数的确定方法
方法一 模糊统计法
- 需要设计发放问卷，在实际研究中用的比较多，但是数模比赛中用的少
- 原理：找多个人对同一个模糊概念进行描述，用隶属频率定义隶属度。
例：定义"年轻人"的隶属函数
- 定义人的年龄的论域 ℧ \mho ℧，调查n个人
- 让这n个人仔细考虑好"年轻"的含义后，给出他们认为最合适的年龄区间
- 对于任意一个确定的年龄，例如25，若这n个人中有m个人的年龄区间包含25，则称 m n \frac{m}{n} nm为25岁对于"年轻"的隶属频率
- 依次类推，我们可以找出所有年龄对于"年轻"的隶属频率
- 若n很大时，隶属频率会趋于稳定，此时我们可以将其视为隶属度，进而得到隶属函数
方法二 借助已有的客观尺度
- 需要有合适的指标，并能收集到数据
例如：
| 论域 | 模糊集 | 隶属度 |
|---|---|---|
| 设备 | 设备完好 | 设备完好率 |
| 产品 | 质量稳定 | 正品率 |
| 家庭 | 小康家庭 | 恩格尔系数 |
这里找的指标如果范围超过隶属函数的值域，则需要归一化
方法三 指派法（最常用）
- 根据问题的性质直接套用某些分布作为隶属函数，主观性较强
其中最最常用的是梯形分布
例：试用柯西分布确定"年轻"的隶属函数
"年轻"是偏小型，对应的柯西分布为
A ( x ) = { 1 , x ≤ a 1 1 + α ( x − a ) β , x > a \begin{equation} \begin{aligned} A(x) &= \left\{ \begin{array}{rl} 1, & x \leq a\\ \frac{1}{1+\alpha (x-a) \beta }, & x >a \\ \end{array} \right. \end{aligned} \end{equation} A(x)={1,1+α(x−a)β1,x≤ax>a
这里有三个未知参数： a , α , β a, \alpha, \beta a,α,β
根据生活经验或别人的研究成果，我们令 a = 20 , A ( 30 ) = 0.5 a=20, A(30)=0.5 a=20,A(30)=0.5， β \beta β在指数部分，我们一般倾向于简化模型，则 β \beta β可取1或2，此处我们令 β = 2 \beta =2 β=2，可以解得 α = 0.01 \alpha =0.01 α=0.01
应用 ：模糊综合评价
评价问题概述
模糊评价问题解决以下两种问题：
- 将论域中的一个对象指定评语集中的一个评语
- 将方案作为评语集并选一个最终方案
模糊综合评价中引入了三个集合：
- 因素集 （评价指标集） U = { u 1 , u 2 , . . . , , u n } U=\{u_1,u_2,...,,u_n\} U={u1,u2,...,,un} eg：专业排名、课外实践、志愿服务、竞赛成绩
- 评语集 （评价的结果） V = { v 1 , v 2 , . . . , v m } V=\{v_1,v_2,...,v_m\} V={v1,v2,...,vm} eg：优、良、差
- 权重集 （指标的权重） A = { a 1 , a 2 , . . . , a n } A=\{a_1,a_2,...,a_n\} A={a1,a2,...,an} eg：0.1, 0.5, 0.2, 0.3
权重与因素一一对应，有n个元素，m为评语集的元素个数，n，m的大小没有必然联系
一级模糊综合评价
适用于指标较少的考核，且指标间的独立性较强
第一步 确定三个集合
确定权重的方法：无数据：层次分析法；有数据：熵权法
第二步 确定模糊综合判断矩阵
对指标 u i u_i ui来说，对各个评语的隶属度为 V V V上的模糊子集。
对指标 u i u_i ui的评判记为 R i = [ r i 1 , r i 2 , . . . , r i m ] R_i=[r_{i1},r_{i2},...,r_{im}] Ri=[ri1,ri2,...,rim]
则各个指标的模糊综合判断矩阵为
R = [ r 11 r 12 ⋯ r 1 m r 21 r 22 ⋯ r 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ r n 1 r n 2 ⋯ r n m ] R= \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & \cdots & r_{1m} \\ r_{21} & r_{22} & \cdots & r_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{n1} & r_{n2} & \cdots & r_{nm} \end{bmatrix} R= r11r21⋮rn1r12r22⋮rn2⋯⋯⋱⋯r1mr2m⋮rnm
这是一个从 U U U到 V V V的模糊关系矩阵
第三步 综合评判
模糊变换 T R : F ( U ) → F ( V ) T_R:F(U) \to F(V) TR:F(U)→F(V)
由此变换可得到综合评判结果
B 1 × m = A 1 × n ⋅ R n × m B_{1 \times m} = A_{1 \times n} \cdot R_{n \times m} B1×m=A1×n⋅Rn×m
最终取数值最大的评语作为综合评判结果。
例：某单位对员工的年终综合评定
例：某露天煤矿的设计方案的选择
多级模糊综合评价
因素中指标较多，可以对其进行归类之后简化计算。一般有二级、三级模糊评价，四级及以上太复杂了，基本不会出现。
二级模糊综合评价
实际上就是拆分成两个一级模糊综评的步骤进行
- 划分因素集 确定三集
第一级因素集 U = { U 1 , U 2 , . . . , U k } U =\{U_1,U_2,...,U_k\} U={U1,U2,...,Uk}
第二级因素集 U i = { u 1 ( i ) , u 2 ( i ) , . . . , u n i ( i ) } U_i=\{u^{(i)}_1,u^{(i)}2,...,u^{(i)}{n_i}\} Ui={u1(i),u2(i),...,uni(i)} - 对第二级因素集进行评判
得到第二级综合评判矩阵
R i = [ r 11 ( i ) r 12 ( i ) ⋯ r 1 m ( i ) r 21 ( i ) r 22 ( i ) ⋯ r 2 m ( i ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ r n i 1 ( i ) r n i 2 ( i ) ⋯ r n i m ( i ) ] R_i= \begin{bmatrix} r_{11}^{(i)} & r_{12}^{(i)} & \cdots & r_{1m}^{(i)} \\ r_{21}^{(i)} & r_{22}^{(i)} & \cdots & r_{2m}^{(i)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{n_i1}^{(i)} & r_{n_i2}^{(i)} & \cdots & r_{n_im}^{(i)} \end{bmatrix} Ri= r11(i)r21(i)⋮rni1(i)r12(i)r22(i)⋮rni2(i)⋯⋯⋱⋯r1m(i)r2m(i)⋮rnim(i)
若对于第二级因素集 U i = { u 1 ( i ) , u 2 ( i ) , . . . , u n i ( i ) } U_i=\{u^{(i)}_1,u^{(i)}2,...,u^{(i)}{n_i}\} Ui={u1(i),u2(i),...,uni(i)} 的权重为 A i = { A 1 ( i ) , A 2 ( i ) , . . . , A n i ( i ) } A_i=\{A^{(i)}_1,A^{(i)}2,...,A^{(i)}{n_i}\} Ai={A1(i),A2(i),...,Ani(i)},
则综合评判为 B i = A i × R i ( i = 1 , 2 , . . . , k ) B_i=A_i \times R_i \ \ \ \ \ \ \ \ (i=1,2,...,k) Bi=Ai×Ri (i=1,2,...,k) - 对第一级因素集进行评判
由上一步得到的 B i B_i Bi可得第一级综合评判矩阵
R = [ B 1 B 2 ⋮ B k ] R= \begin{bmatrix} B_{1} \\ B_{2} \\ \vdots \\ B_{k} \end{bmatrix} R= B1B2⋮Bk
若对于第二级因素集 U = { U 1 , U 2 , . . . , U k } U =\{U_1,U_2,...,U_k\} U={U1,U2,...,Uk} 的权重为 A = { A 1 , A 2 , . . . , A k } A =\{A_1,A_2,...,A_k\} A={A1,A2,...,Ak}
则综合评判为 B = A × R B = A \times R B=A×R - 按最大隶属度原则确定相应评语或等级
例：评价学生表现并作为奖学金评判标准
因素集 U { 学习成绩 U 1 { 专业课成绩 u 1 ( 1 ) 非专业课成绩 u 2 ( 1 ) 竞赛成绩 U 2 { 国家级竞赛成绩 u 1 ( 2 ) 省级竞赛成绩 u 2 ( 2 ) 校级竞赛成绩 u 3 ( 2 ) 个人荣誉 U 3 { 国家级荣誉奖项 u 1 ( 3 ) 省级荣誉奖项 u 2 ( 3 ) 校级荣誉奖项 u 3 ( 3 ) 志愿服务 U 4 { 志愿服务时长 u 1 ( 4 ) 因素集U\left\{ \begin{array}{ll} 学习成绩U_1\left\{ \begin{array}{ll} 专业课成绩u^{(1)}_1 \\ 非专业课成绩u^{(1)}_2 \end{array} \right.\\\\ 竞赛成绩U_2\left\{ \begin{array}{ll} 国家级竞赛成绩 u^{(2)}_1\\ 省级竞赛成绩 u^{(2)}_2\\ 校级竞赛成绩 u^{(2)}_3 \end{array} \right.\\\\ 个人荣誉U_3\left\{ \begin{array}{ll} 国家级荣誉奖项u^{(3)}_1\\ 省级荣誉奖项u^{(3)}_2 \\ 校级荣誉奖项u^{(3)}_3 \end{array} \right.\\ \\ 志愿服务U_4\left\{ \begin{array}{ll} 志愿服务时长u^{(4)}_1 \end{array} \right.\\ \end{array} \right. 因素集U⎩ ⎨ ⎧学习成绩U1{专业课成绩u1(1)非专业课成绩u2(1)竞赛成绩U2⎩ ⎨ ⎧国家级竞赛成绩u1(2)省级竞赛成绩u2(2)校级竞赛成绩u3(2)个人荣誉U3⎩ ⎨ ⎧国家级荣誉奖项u1(3)省级荣誉奖项u2(3)校级荣誉奖项u3(3)志愿服务U4{志愿服务时长u1(4)
评语集 V = { 一等奖学金 V 1 ，二等奖学金 V 2 ，无奖学金 V 3 } V=\{一等奖学金V_1，二等奖学金V_2，无奖学金V_3\} V={一等奖学金V1，二等奖学金V2，无奖学金V3}
假设我们通过投票（模糊统计法）得到
R 1 = [ 0.8 0.2 0 0.7 0.3 0 ] R_1= \begin{bmatrix} 0.8 & 0.2 & 0 \\ 0.7 & 0.3 & 0 \\ \end{bmatrix} R1=[0.80.70.20.300]
又由已知
A 1 = [ 0.6 0.4 ] A_1= \begin{bmatrix} 0.6 & 0.4 \end{bmatrix} A1=[0.60.4]
可得
B 1 = A 1 × R 1 = [ 0.6 0.4 ] B_1=A_1 \times R_1 = \begin{bmatrix} 0.6 & 0.4 \end{bmatrix} B1=A1×R1=[0.60.4]
以此类推可得所有 B i B_i Bi
最终我们可以构造
R = [ B 1 B 2 B 3 B 4 ] = [ 0.76 0.24 0 0.15 0.27 0.58 0.4 0.2 0.4 0.1 0.8 0.1 ] R= \begin{bmatrix} B_1\\B_2\\B_3\\B_4 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0.76 & 0.24 & 0\\ 0.15 & 0.27 & 0.58 \\ 0.4 & 0.2 &0.4\\ 0.1 & 0.8 & 0.1 \end{bmatrix} R= B1B2B3B4 = 0.760.150.40.10.240.270.20.800.580.40.1
又由于
A = [ 0.4 0.3 0.2 0.1 ] A= \begin{bmatrix} 0.4 & 0.3 &0.2 &0.1 \end{bmatrix} A=[0.40.30.20.1]
则
R = A × R = [ 0.439 0.297 0.264 ] R= A \times R= \begin{bmatrix} 0.439 &0.297 &0.264 \end{bmatrix} R=A×R=[0.4390.2970.264]
由于0.439最大，则该同学获得一等奖学金的隶属度最大，所以该同学应评为一等奖学金。
若一等奖学金名额有限，应该如何分配？选择一等奖学金隶属度最大的三位同学。
三级模糊综合评价
一道例题
