【机器人】控制之稳定性判定: 李雅普诺夫Lyapunov (2) 如何设计李(李雅普诺夫)函数

系统模型和构造 Lyapunov 函数之间是有关系的,但这种关系并不是唯一的,也就是说,构造 Lyapunov 函数需要参考系统模型的特性,但可以有多种选择。以下从理论和实践两方面解释它们的关系。


理论上的关系

  1. 系统模型给出动态行为: 系统模型描述了状态变量随时间的变化规律,通常形式为:

    Lyapunov 函数的构造需要反映系统模型的动力学特性,特别是状态变量如何影响系统的能量或"势能"变化。

  2. Lyapunov 函数与系统的稳定性相关联: 系统模型定义了状态变量的演化规则,Lyapunov 函数需要对系统的动力学特性进行评估,例如:

    • 是否有自然的能量形式(如机械系统中的动能、势能);
    • 平衡点周围的状态变化趋势(例如趋近或离开平衡点的速度)。
  3. 构造 Lyapunov 函数的指导原则来自系统模型:

    • 如果系统是线性的,可以借助二次型函数(如 ,其中 P > 0 是对称正定矩阵)。
    • 如果系统是非线性的,则 Lyapunov 函数通常需要依赖系统模型的非线性项构造,以捕捉其特性。

实践中的关系

在实际构造中,Lyapunov 函数和系统模型的关系主要体现在以下方面:

1. 选择基于能量的函数:
  • 如果系统具有能量物理意义(如机械系统、电气系统),可以自然地选择能量形式作为 Lyapunov 函数。
  • 例如,单摆系统 θ¨+sin⁡θ=0\ddot{\theta} + \sin\theta = 0 的 Lyapunov 函数可以选择总能量:
2. 利用线性化模型:
3. 试探法:
4. 结合控制目标:
  • 如果系统设计了反馈控制器,Lyapunov 函数可以参考控制器的结构,验证闭环系统的稳定性。

Lyapunov 函数与系统模型是否无关?


总结

  • 有关系:Lyapunov 函数的构造需要参考系统模型,反映系统的动态特性。
  • 不唯一:一个系统模型可以有多种形式的 Lyapunov 函数,具体选择取决于问题背景、物理意义或数学便利性。
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