蓝桥杯刷题——day4

蓝桥杯刷题------day4

题目一
题目二

题目一

题干

小蓝和朋友们在玩一个报数游戏。由于今年是2024 年，他们决定要从小到大轮流报出是20或24倍数的正整数。前10个被报出的数是：20,24,40,48,60,72,80,96,100,120。请问第202420242024个被报出的数是多少？

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只输出这个整数，填写多余的内容将无法得分。
题目链接： 报数游戏

题目解析

这道题目其实很简单，我们最先的想法是设立一个计数器，然后一个一个的遍历，只要满足数字整除20或者整除24，那么计数器就＋1，但是这个方法会耗费很长的时间，我们可以将20×24看作一个轮回，先计算20到24之间的能整除20或者整除24的个数times，然后用202420242024除以times得到商和余数，商则表示经过了几个轮回，而余数则表示是这个轮回的第几个数字，那么将两者相加，就表示了第202420242024个数是什么了，问题解决，下面是完整的代码：

代码

java 复制代码

import java.util.ArrayList;
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        ArrayList<Long> list = new ArrayList<>();
        long times = 0;
        for (Long i = 1L; i <= 480; i++) {
            if (i % 20 == 0 || i % 24 == 0) {
                list.add(i);
                times++;
            }
        }
        Long a = 202420242024L;
        Long tmp1 = a / times;
        int tmp2 = (int) (a % times);
        System.out.println(list.get(tmp2 - 1) + 480L * tmp1);
    }
}

题目二

题干

给定一个数组，每次操作可以选择数组中任意两个相邻的元素x,y 并将其中的一个元素替换为gcd(x,y)，其中gcd(x,y) 表示x 和y 的最大公约数。请问最少需要多少次操作才能让整个数组只含1。
输入：

输入的第一行包含一个整数n，表示数组长度。第二行包含n 个整数，相邻两个整数之间用一个空格分隔。
输出：

输出一行包含一个整数，表示最少操作次数。如果无论怎么操作都无法满足要求，输出-1。
示例一：

输入：

3

4 6 9

输出：

4

题目链接： 最大公约数

题目解析

这道题目关键是如何找出一个最小子串，该最小子串能够实现数组中的最大公约数为 1，什么意思？如果我们把一个子串中的一个元素变为了1，那么我们就可以根据这个1把数组的其他元素都变成1，什么意思？我们下面的图：

5和4的最大公倍数是1，那么我们就可以把其中的一个数字变成1，那么其他的也可以根据这个1变成1，就像病毒扩散一样，因此我们只需要找到一个数组里的最短子串，并且该最短子串能够实现最大公倍数为1就能够完成，因此我们完整的思路是：

计算整个数组的 GCD。如果 GCD 不为 1，直接输出 -1。
寻找最短的子数组，其 GCD 为 1，记为长度L。
最小操作次数为：n−1+(L−1)，因为：n−1是将所有元素通过邻近操作将本身变为1的次数。(L−1)是在将子数组（ GCD 为 1）其中一个元素变为1的操作次数。

下面是完整代码：

代码

java 复制代码

import java.util.Scanner;
public class Demo {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);

        //输入数组的长度
        int n = scanner.nextInt();

        //输入数组的内容
        int[] arr = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            arr[i] = scanner.nextInt();
        }

        System.out.println(minOperations(n, arr));
    }

    private static int minOperations(int n, int[] arr) {
        //判断整体的GCD
        int overallGCD = gcdArray(arr);
        if (overallGCD != 1) {
            return -1;// 如果整体GCD不是1，无论怎么操作都无法满足需求
        }

        //寻找最短子数组，其GCD为1
        int minLength = Integer.MAX_VALUE;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int currentGCD = arr[i];
            for (int j = i; j < n; j++) {
                currentGCD = gcd(currentGCD, arr[j]);
                if (currentGCD == 1) {
                    minLength = Math.min(minLength, j - i + 1);
                }
            }
        }

        //如果没有找到任何子数组GCD为1
        if (minLength == Integer.MAX_VALUE) {
            return -1;
        }
        return (n - 1) + (minLength - 1);
    }

    private static int gcdArray(int[] arr) {
        int result = arr[0];
        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
            result = gcd(result,arr[i]);
            if (result == 0){
                return 1;
            }
        }
        return result;
    }

    private static int gcd(int a, int b) {
        //计算两个数的GCD
        while (b != 0) {
            int tmp = b;
            b = a % b;
            a = tmp;
        }
        return a;
    }
}