【图像处理lec3、4】空间域的图像增强

iii、直方图均衡的变换函数

iv、离散版本的直方图均衡

9、直方图匹配

（1）原理概述

（2）直方图匹配的步骤

[Step 1: 计算输入图像的累积分布函数 (CDF)](#Step 1: 计算输入图像的累积分布函数 (CDF))

[Step 2: 计算目标图像的累积分布函数 (CDF)](#Step 2: 计算目标图像的累积分布函数 (CDF))

[Step 3: 建立映射关系](#Step 3: 建立映射关系)

[Step 4: 应用映射](#Step 4: 应用映射)

[（3）高提升滤波（High-Boost Filtering）](#（3）高提升滤波（High-Boost Filtering）)

[（1）非线性空间滤波工具 ordfilt2](#（1）非线性空间滤波工具 ordfilt2)

[（2）中值滤波器 medfilt2](#（2）中值滤波器 medfilt2)

（3）中值滤波的去噪效果对比

1. 空间域图像增强的背景与目标

图像增强的目标：通过处理图像使其对特定应用更适合。这里强调"特定应用"是问题导向的，因此增强方法没有统一的理论标准。
分类：
- 空间域方法：直接操作图像的像素。
- 频域方法：基于傅里叶变换的操作。
图像处理的评价 ：
- 对于视觉感知，评价取决于人类观察效果。
- 对于机器感知，如字符识别，评价通过任务完成度衡量。

2. 空间域处理的数学描述

数学表达式：，其中是一个操作符，可作用于像素的某个邻域。
邻域选择：通常使用方形或矩形邻域，因其易于实现。
最简单形式为强度变换，表示为，即像素值的变换。

3. 灰度级变换

作用：调整图像像素值以实现增强效果。
示例中展示了不同的变换函数（例如S型和阶梯型），对应灰度范围从暗到亮的不同映射。
效果：调整对比度或强调特定灰度范围。

4. 幂律变换（Power-Law Transformation）

数学公式：，通过调节控制对比度。

典型应用 ：
- Gamma校正：用于显示器的线性响应矫正。
- 对比度增强 ：通过不同值调整图像的细节和亮度。
下图展示了在医疗图像和航空图像中，通过不同的值实现对比增强效果。

5、分段线性变换

Case 1: 对比度拉伸

内容：图像的对比度拉伸通过增强低对比度区域来提高图像的视觉质量。
方法：
- 输入灰度值与输出灰度值之间建立分段线性关系。
- 拉伸低对比度部分（通过设定阈值）。
- 示例：在原始低对比度图像上应用对比度拉伸，明显提高了对比度，增强了视觉效果。

Case 2:灰度切片

内容：通过灰度切片方法突出特定灰度范围的特性。
方法：
- 两种形式：将感兴趣的灰度范围值保留，其他灰度值置为常数；或保留所有灰度值，但突出特定范围。
- 应用：医学影像中，突出特定组织或结构。

Case 3:按位切片

内容：按位切片以分离图像的不同比特平面。
方法：
- 图像由 8 个位平面组成，从最不重要位 (LSB) 到最重要位 (MSB)。
- 应用：观察 MSB 可以捕获主要图像结构，LSB 常用于存储隐藏数据（如水印）。

6、图像处理工具箱中的函数 imadjust

功能：imadjust 是 MATLAB 的图像处理工具箱中用于调整图像强度值分布的函数。
语法：g = imadjust(f, [low_in high_in], [low_out high_out], gamma)
- 参数解释 ：
  - low_in, high_in：输入强度值的范围。
  - low_out, high_out：映射到的输出强度值范围。
  - gamma：控制曲线的非线性程度。
特点：
- gamma < 1：增强较暗区域的亮度。
- gamma > 1：增强较亮区域的亮度。
- 默认情况下，gamma = 1 表示线性映射。

示例：
- 通过不同的参数组合调整乳腺图像对比度，以更清晰地观察病变区域。

图1 图2

图1左侧是从一个乳腺影像文件（Fig0303(a)(breast).tif）读取的，使用 imshow(I) 显示该图像，显示的是原始未处理的乳腺 X 光片。

图1右侧使用 G = imadjust(I, [0 1], [1 0]) 对原始图像进行处理，这种调整会产生一个负片效果，即原本亮的区域变暗，暗的区域变亮，显示负片的目的是强调图像中原本不明显的结构特征，方便分析。

图2左侧：对部分强度范围增强

使用 G = imadjust(I, [0.5 0.75], [0 1])。
参数 [0.5 0.75] 选择了图像输入强度值的中间部分进行增强（从 0.5 到 0.75 的灰度范围）。
输出 [0 1] 将这些强度范围映射到全新的灰度范围，增强了这一范围的对比度。
结果是更强烈的对比，突出原图中特定强度范围的细节。

图2右侧：伽马变换增强

使用 G = imadjust(I, [], [], 2)。
参数 [] 表示默认的输入强度范围 [0 1] 和输出强度范围 [0 1]，2 是伽马值。
伽马值为 2 表示对暗部区域的灰度值进行放大（权重偏向暗部区域），使得暗部区域的细节更加清晰。
用于强调图像中的低灰度特征。

6、对数变换（Logarithmic Transformation）

目的：压缩动态范围。对数变换常用于处理动态范围较大的图像数据，例如傅里叶频谱图。
公式：，其中是常数。
用途：
- 压缩高动态范围数据，例如从压缩到较小范围。
- 通过 MATLAB 中的命令实现，例如 g = im2uint8(mat2gray(log(1 + double(f))))。
例子：傅里叶频谱图

7、对比度拉伸（Contrast-Stretching Transformation）

公式：，其中为强度阈值，控制函数的斜率。

作用：
- 将较低或较高的输入灰度值压缩到更窄的范围。
- 提高图像对比度，尤其适合灰度值分布范围有限的图像。
MATLAB 实现 ：通过对应的公式，使用 double 数据类型进行计算。

8、直方图均衡

（1）直方图的定义

图像的直方图是强度值的分布统计，是增强、压缩、分割和描述等图像处理操作的基础。
，其中：
- ：第个强度值；
- ：强度值为的像素数量。

（2）直方图归一化

通过归一化直方图，可以将像素数量转化为概率分布：这里是总像素数。直方图归一化可以表示为灰度值强度的概率估计。

（3）直方图生成与显示

使用 MATLAB 函数 imhist 和 bar 绘制直方图：
- imhist(f, b)：计算直方图，是灰度级分箱的数量。
- bar(horz, h1, width)：绘制条形图，其中 horz 为横轴刻度，h1 为直方图数据。

（4）直方图的对比分析

直方图可以帮助可视化图像的亮度分布。例如：
- 暗图像的直方图主要集中在灰度较低的部分；
- 亮图像的直方图主要集中在灰度较高的部分。

（5）代码示例

生成直方图：

f = imread('Fig3_8_a.tif');
h = imhist(f);
bar(h);

绘制条形直方图：

s = imread('Fig0303(a).tif');
h1 = imhist(s, 16);
horz = 1:16;
bar(horz, h1, 0.8);

（6）直方图均衡化

i、目标：

增强图像的对比度。
将图像的灰度分布调整为近似均匀分布。

ii、概率密度函数 (PDF) 和累计分布函数 (CDF)

PDF（概率密度函数）：
- 图像中每个灰度级的出现概率。
- 定义为：其中：
  - 是灰度级，
  - 是灰度级的像素个数，
  - N 是总像素数。
CDF（累计分布函数）：
- 累计分布函数是 PDF 的积分，用来表示灰度值从最小到当前灰度值的累计概率：或连续形式：累计分布函数的值范围是 [0,1]。

iii、直方图均衡的变换函数

直方图均衡的变换函数恰好就是累计分布函数：

变换函数被定义为原始灰度级概率密度函数的累积分布函数：

其中是积分的中间变量，代表从 0 到的所有灰度级，是变换后的灰度值，是近似均匀分布的。

本质： 将原图像的灰度级按上述累积分布函数映射为新的灰度级。这个过程实现了原始灰度分布到均匀分布的调整，最终得到对比度均衡化的图像。

定性理解：原灰度值比较集中的区域，概率密度比较大，概率密度的累计函数增长比较快，从而使得较短的就灰度值区域转换为较长的新的灰度值区域，即让原灰度值集中的区域分散；而原灰度值比较分散的区域，概率密度比较小，概率密度的累计函数增长缓慢，使得较长的原灰度值区域被转换为角度的新灰度值区域，即让原灰度值分散的区域集中。

证明新的灰度值分布 s 服从均匀分布：

推导新的概率密度函数，

的定义为：
根据变换的定义（），求导得：
代入的表达式：
结论： 经过变换后，新的灰度级概率密度函数是均匀分布，满足直方图均衡化目标。

iv、离散版本的直方图均衡

在实际实现中，图像是离散的，其灰度级的概率密度可以表示为：

其中是灰度级的像素数量，是图像总像素数。
累积分布函数的离散形式为：

这意味着每个像素的新的灰度级由其对应的累积概率决定。

9、直方图匹配

直方图匹配（Histogram Matching 或 Histogram Specification）是一种图像处理技术，其目标是将输入图像的直方图调整为目标图像或目标直方图的分布。相比于直方图均衡化，直方图匹配允许更灵活地调整图像的灰度分布，以适应特定需求。

（1）原理概述

直方图匹配的核心是将输入图像的灰度级分布调整为与目标图像的灰度级分布相同。

输入图像直方图： ，表示输入图像中灰度级的概率分布。
目标直方图： ，表示目标图像中灰度级的概率分布。

通过设计一个映射函数，使得调整后的灰度分布匹配目标直方图。

（2）直方图匹配的步骤

Step 1: 计算输入图像的累积分布函数 (CDF)

输入图像灰度级的累积分布函数定义为：

或者在离散情况下：

其中：

是灰度级的像素数量。
是图像总像素数。

是原始概率密度到均匀分布的映射。

Step 2: 计算目标图像的累积分布函数 (CDF)

目标图像灰度级的累积分布函数定义为：

或者在离散情况下：

其中：

是目标直方图中灰度级的像素数量。
是目标图像的总像素数（或者是目标直方图的总和）。

是目标图像灰度值概率密度到均匀分布的映射；是均匀分布到目标图像灰度值概率密度的映射。而这里的均匀分布如果采用映射的输出，那么就实现了原图灰度值概率密度到目标图概率密度的转换。

Step 3: 建立映射关系

输入图像中每个灰度值的对应映射满足：

，这两个映射的结果都是均匀分布，所以相等。

通过求解，找到到的映射关系。

在离散情况下，通过最近邻法或插值找到与的对应关系：

Step 4: 应用映射

对输入图像的每个像素值，通过上述映射关系替换其值，最终获得直方图匹配后的图像。

（3）示例

直方图均衡：

输入图像（左侧的图）是 Mars 月亮 Phobos 的图片。
使用默认的 256-bin 直方图进行均衡，发现输出结果（右侧的图）不理想。
其原因是原始图像的像素值主要集中在低灰度区，导致均衡后产生大量离散化的高灰度值。

改进：直方图匹配：

为了解决上述问题，可以引入**双峰高斯模型（Bimodal Gaussian Model）**作为目标直方图，使其更符合原始图像的分布特性：
- ：两个高斯分布的均值。
- ：标准差。
- ：两个分布的权重。
通过指定该模型，生成一个平滑的目标直方图，应用到图像后得到更好的视觉效果。

最终结果：

通过调整目标直方图的形状，输出图像的灰度分布变得更加均匀，细节对比度增强。

10、线性空间滤波

定义与概念： 线性滤波使用固定大小的核（如3x3或5x5）滑动整个图像，对每个像素点应用线性运算。

公式：其中，是权值矩阵，是输入图像。
滤波模式：
- 平滑滤波器（如平均滤波、加权平均滤波）。
- 卷积与相关的差别：卷积需要将核旋转180度。
使用函数： MATLAB函数imfilter允许使用边界处理选项（replicate、symmetric、circular），支持对边界问题灵活处理。

均值滤波器

如Box滤波器（简单平均）和加权平均滤波器，常用于图像去噪或模糊化。
示例中，均值滤波器的掩模可以是：或

锐化滤波

下面右有详细的分析。

11、图像锐化

（1）锐化空间滤波的基本概念

锐化的目标是突出图像中的细节或增强被模糊的特征，这通过空间微分（spatial differentiation）实现。

一阶导数的要求

一阶导数反映图像的边缘和灰度变化情况，满足以下条件：

在平坦区域（常量灰度区域）为零。
在灰度跳变的起始处非零。
在渐变区域非零。

数学表达：

二阶导数的要求

二阶导数有助于更精确地定位边缘和变化点，满足以下条件：

在平坦区域为零。
在灰度跳变的起始和结束处非零。
在渐变区域（常量斜坡）为零。

数学表达：

（2）拉普拉斯滤波

拉普拉斯滤波是一种二阶导数滤波器，通过计算图像中每个像素周围灰度变化的加权和来突出边缘。

拉普拉斯函数

二维拉普拉斯算子定义为：

离散实现为：

Laplacian 3×3 滤波模板

常用的拉普拉斯模板具有中心系数为负值、周围为正值的结构：
- 弱锐化模板：中心 −4，周围（上下左右）为 +1 ，四角（左上、右上、左下、右下）为0。
- 强锐化模板：中心 −8，周围（上下左右、左上、右上、左下、右下）为 +1 。
- 弱锐化滤波和强锐化滤波示例如下图：

在图中示例中，使用拉普拉斯滤波器对月球图像进行锐化，效果如下：
- 左上图：原始图像。
- 右上图：拉普拉斯滤波响应图（包含边缘信息）。
- 左下图：拉普拉斯滤波后的结果。
- 右下图：通过将拉普拉斯图像从原始图像中减去，实现锐化增强。

图像增强表达式

其中是锐化后的图像，是输入图像。

第一步是通过滤波器提取边缘信息，第二步是将边缘信息与原图像融合。这两步可以合在一起：

两步融合之后的滤波器核为：

（3）高提升滤波（High-Boost Filtering）

高提升滤波是一种基于非锐化掩模 （Unsharp Masking）的扩展方法。它通过放大原始图像与模糊图像之间的差异实现锐化。

数学表达

非锐化掩模：

其中是模糊后的图像，是锐化后的图像。

高提升滤波：

进一步展开为：

当时，退化为普通的非锐化掩模。

结合拉普拉斯的高提升滤波

如果拉普拉斯算子用于计算锐化掩模，则高提升滤波的公式变为：

或

图像示例分析

使用不同值进行高提升滤波，产生基本锐化效果，提供更强烈的锐化。这里其实就是原图与锐化细节融合时减少了原图的权重，使得锐化更加凸显；但这样使得变化后的图像色度减弱了，如果不想色度减弱，就保持原图的权重为1，增大锐化细节的分量。
对比图展示了不同值下的效果，高值更突出边缘和细节。

（4）图像梯度的计算与Sobel算子

图像梯度的基本原理：
- 通过计算图像的一阶导数（梯度）来突出灰度值的变化，用于边缘检测和图像锐化。
- 梯度运算使用微分算子 ，包括Sobel算子 和Prewitt算子 ，其系数矩阵如图1所示：
  - 这些算子通过卷积操作提取图像边缘信息。
  - Sobel算子（图2右图）增强了边缘对比度，有效检测边缘。

图1 图2

梯度增强效果：
- 左图（光学镜片）表现为平滑图像，右图为通过Sobel梯度算子计算得到的增强图像，显示了边缘和缺陷（4点和5点钟方向）。
- Sobel算子能够有效地检测图像中的轮廓信息，并放大边缘细节。

12、非线性空间滤波

（1）定义与特点

通常基于像素的局部邻域，但不像线性滤波那样应用固定的线性权值运算，而是使用其他数学操作（如取最大值、最小值、中值等）。
主要特点：
- 输出像素值由局部邻域的非线性操作确定（例如，局部最大值操作）。
- 与线性滤波不同，非线性滤波中"滤波核（mask）"的概念并不是必须的。
- 非线性滤波更加灵活，能更好地保留边缘等细节特性。

（2）MATLAB工具箱中的非线性滤波

片子中提到了两种主要函数：nlfilter 和 colfilt。

nlfilter（非线性空间滤波器）
- 在二维图像上直接执行非线性操作。
- 用户可通过打开nlfilter查看其源码。
- 缺点：计算效率相对较低。
colfilt（列过滤器）
- 将数据以列的形式组织成矩阵，然后在每一列上执行操作。
- 内存占用较高，但执行速度快于nlfilter。
- 数据结构组织后，结果更高效，但需要为大规模处理分配更多内存。

片子中的非线性空间滤波主要内容及分析如下：

（3）具体实现与矩阵操作

colfilt 函数原理

输入：
- 图像的大小为。
- 滤波窗口的大小为。
输出：
- 将图像滑动窗口生成一个矩阵，大小为，每一列表示图像中邻域窗口的像素。
特点：
- 每一列包含一个邻域窗口的像素数据，方便应用非线性函数对每一列进行单独操作。

colfilt 的函数语法：

参数说明：
- ：滑动窗口的大小。
- 'sliding'：滑动方式。
- @fun：要应用的函数。
- parameters：传递给函数的参数。
工作流程：
- 函数 fun 将作用于矩阵的每一列，输出为一个行向量。
- 滤波结果的第个元素是的第列应用 fun 操作的结果。

13、非线性空间滤波去噪（去除椒盐噪声）

（1）非线性空间滤波工具 `ordfilt2`

功能：
- ordfilt2 是用于生成顺序统计（或称为秩）滤波器的函数。
- 它通过对邻域中的像素值进行排序，提取指定次序（秩）上的像素值，构成输出图像。
语法：
- g = ordfilt2(f, order, domain)
  - f：输入图像。
  - order：提取排序后的第 order 个元素。
  - domain：定义邻域范围。
- 例如：
  - 最小值滤波器（Min Filter）：ordfilt2(f, 1, ones(m, n))。
  - 中值滤波器：ordfilt2(f, median(1:m*n), ones(m, n))。
应用：
- 这类滤波器主要用于消除特定噪声，例如椒盐噪声。

（2）中值滤波器 `medfilt2`

功能：
- 中值滤波器是一种特殊的秩滤波器，是非线性空间滤波中最重要的工具之一。
- 它通过计算邻域内像素值的中值替换中心像素，达到平滑图像的目的。
语法：
- g = medfilt2(f, [m n], padopt)
  - m, n：邻域窗口大小。
  - padopt：边界填充选项（如 zeros、symmetric、indexed）。
- 默认边界处理为 zeros 填充。
实验证明 ：
- 中值滤波对椒盐噪声有显著的去噪效果，同时保留边缘细节。

（3）中值滤波的去噪效果对比

原理与操作 ：
- 首先加载一幅受椒盐噪声污染的电路板图像（左图）。
- 对其进行不同模式的中值滤波处理：
  - 默认 zeros 填充方式（中图）。
  - symmetric 填充方式（右图）。

结果分析 ：
- 噪声图像（左图）经过中值滤波处理后：
  - 使用默认边界模式（中图）：边界处可能存在异常伪影。
  - 使用 symmetric 填充（右图）：边界伪影显著减少，处理效果更平滑。
- 结果证明：
  - 中值滤波对于椒盐噪声有显著的去除效果，尤其在 symmetric 模式下表现更优。

【图像处理lec3、4】空间域的图像增强

1. 空间域图像增强的背景与目标

2. 空间域处理的数学描述

3. 灰度级变换

4. 幂律变换（Power-Law Transformation）

5、 分段线性变换

Case 1: 对比度拉伸

**Case 2:**灰度切片

**Case 3:**按位切片

6、对数变换（Logarithmic Transformation）

7、对比度拉伸（Contrast-Stretching Transformation）

8、直方图均衡

（1）直方图的定义

（2）直方图归一化

（3）直方图生成与显示

（4）直方图的对比分析

（5）代码示例

（6）直方图均衡化

i、目标：

ii、概率密度函数 (PDF) 和累计分布函数 (CDF)

iii、直方图均衡的变换函数

iv、离散版本的直方图均衡

9、直方图匹配

（1）原理概述

（2）直方图匹配的步骤

Step 1: 计算输入图像的累积分布函数 (CDF)

Step 2: 计算目标图像的累积分布函数 (CDF)

Step 3: 建立映射关系

Step 4: 应用映射

（3）示例

10、线性空间滤波

11、图像锐化

（1）锐化空间滤波的基本概念

（2）拉普拉斯滤波

（3）高提升滤波（High-Boost Filtering）

（4）图像梯度的计算与Sobel算子

12、非线性空间滤波

（1）定义与特点

（2）MATLAB工具箱中的非线性滤波

（3）具体实现与矩阵操作

13、非线性空间滤波去噪（去除椒盐噪声）

（1）非线性空间滤波工具 ordfilt2

（2）中值滤波器 medfilt2

（3）中值滤波的去噪效果对比

5、分段线性变换

Case 2:灰度切片

Case 3:按位切片

（1）非线性空间滤波工具 `ordfilt2`

（2）中值滤波器 `medfilt2`