leetcode70:爬楼梯

原题地址：70. 爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

题目描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

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输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

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输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

解题思路

这道题的目标是解决经典的"爬楼梯"问题，即给定楼梯的总阶数 n，每次只能爬 1 或 2 阶，求总共有多少种不同的爬法。

背景知识：

爬楼梯问题与斐波那契数列密切相关，f(n) = f(n-1) + f(n-2)，初始条件为 f(1) = 1, f(2) = 2。
通过矩阵快速幂，可以在对数时间内求解斐波那契数列问题，利用状态转移矩阵：Q= $1110$ Q= $1110$ 斐波那契数列可以表示为：Fibonacci(n)=Q(n−1) $0$ $0$ Fibonacci(n)=Q(n−1) $0$ $0$

源码实现

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class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        // 定义状态转移矩阵 Q
        int[][] q = {{1, 1}, {1, 0}};
        // 计算矩阵 Q 的 n 次幂，得到爬楼梯的结果
        int[][] res = pow(q, n);
        // 返回结果矩阵的左上角元素，即 f(n)
        return res[0][0];
    }

    // 矩阵快速幂方法
    public int[][] pow(int[][] a, int n) {
        // 初始化单位矩阵 I，用于保存中间结果
        int[][] ret = {{1, 0}, {0, 1}};
        while (n > 0) {
            // 如果 n 是奇数，累乘当前矩阵
            if ((n & 1) == 1) {
                ret = multiply(ret, a);
            }
            // 更新矩阵 a 为其自身的平方
            a = multiply(a, a);
            // n 右移一位，相当于整除 2
            n >>= 1;
        }
        // 返回结果矩阵
        return ret;
    }

    // 矩阵乘法方法
    public int[][] multiply(int[][] a, int[][] b) {
        // 初始化结果矩阵
        int[][] c = new int[2][2];
        // 两个 2x2 矩阵逐元素相乘并累加
        for (int i = 0; i < 2; i++) {
            for (int j = 0; j < 2; j++) {
                c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];
            }
        }
        // 返回乘积矩阵
        return c;
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：

矩阵乘法复杂度：
- 两个 2x2 矩阵相乘需要进行常数次（4 次）乘法和加法操作，时间复杂度为 O(1)O(1)。
矩阵快速幂复杂度：
- 快速幂的时间复杂度为 O(log⁡n)O(logn)，因为每次将 n 除以 2，最多需要 O(log⁡n)O(logn) 次矩阵平方操作。
总复杂度：
- 因此，算法的时间复杂度为：O(log⁡n)O(logn)

空间复杂度：

使用了两个 2x2 的矩阵 ret 和 a，以及一个临时矩阵 c，因此空间复杂度为常数 O(1)O(1)。