[钝化掩蔽和高提升滤波(Unsharp masking and high-boost filtering)](#钝化掩蔽和高提升滤波(Unsharp masking and high-boost filtering))
The principal objective of enhancement is to proce s s s an image so that the result is more suitable than the original image for a specific application.
图像增强的目的：使图像更适于特定应用。
图像增强分为两大类：
空间域方法：对图像中像素直接操作。
频率域方法：对图像傅里叶变换进行修改。
Background
空间域处理数学表达：
g ( x , y ) = T [ f ( x , y ) ] g(x,y)=T[f(x,y)] g(x,y)=T[f(x,y)]
f ( x , y ) f(x,y) f(x,y): 输入图像
g ( x , y ) g(x,y) g(x,y): 输出图像
T T T: an operator on f f f, defined over some neighborhood of ( x , y ) (x, y) (x,y). 在 ( x , y ) (x,y) (x,y)一个邻域上定义的对 f f f的算子。
Q: 算子？邻域？
A: 算子可应用于单幅图像的pixels or 一组图像的 pixels.
邻域一般是 ( x , y ) (x,y) (x,y)周边的8个格子( 3 × 3 , ( x , y ) 3\times 3, (x,y) 3×3,(x,y)处于中心)、可能还有矩形或是圆形。
最简单的 T T T是邻域 1 × 1 1\times 1 1×1的(也就是只有本身 ( x , y ) (x,y) (x,y)),称为灰度变换函数。
s = T ( r ) s=T(r) s=T(r)
s , r s,r s,r分别表示 g , f g,f g,f在任意点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处的灰度。
f f f的非归一化直方图定义为：
h ( r k ) = n k , k = 0 , 1 , ... , L − 1 h(r_k)=n_k,k=0,1,\dots,L-1 h(rk)=nk,k=0,1,...,L−1
其中， r k r_k rk表示一副 L L L级灰度数字图像 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的灰度， n k n_k nk表示 f f f中灰度为 r k r_k rk的像素的数量，并且细分的灰度级称为直方图容器。
f f f的归一化直方图定义为：
p ( r k ) = h ( r k ) M N = n k M N p(r_k)=\frac{h(r_k)}{MN}=\frac{n_k}{MN} p(rk)=MNh(rk)=MNnk
其中 M , N M,N M,N分别是图像的行数和列数。(这是书上给出的公式)
或者也可以写成(PPT中给出的公式)：
p ( r k ) = h ( r k ) N = n k N N = ∑ k = 0 L − 1 n k , k = 0 , 1 , ... , L − 1 p(r_k)=\frac{h(r_k)}{N}=\frac{n_k}{N}\\ N=\sum^{L-1}_{k=0}n_k,\ k=0,1,\dots,L-1 p(rk)=Nh(rk)=NnkN=k=0∑L−1nk, k=0,1,...,L−1
殊途同归。 p ( r k ) p(r_k) p(rk)是对图像中出现的灰度级 r k r_k rk的概率的估计。对k的所有值， p ( r k ) p(r_k) p(rk)的和总是1.
假设灰度值最初是连续的，令变量 r r r表示待处理图像的灰度。 r = [ 0 , L − 1 ] r=[0,L-1] r=[0,L−1], r = 0 r=0 r=0黑色， r = L − 1 r=L-1 r=L−1白色。对于这些满足条件的 r r r，我们关注如下的灰度映射：
s = T ( r ) , 0 ≤ r ≤ L − 1 s=T(r),\quad 0\le r\le L-1 s=T(r),0≤r≤L−1
对于输入图像中的给定灰度值 r r r, 它将产生一个输出灰度值 s s s。假设：
T ( r ) T(r) T(r)在区间 [ 0 , L − 1 ] [0,L-1] [0,L−1]上是一个单调递增函数.
对 0 ≤ r ≤ L − 1 0\le r\le L-1 0≤r≤L−1, 有 0 ≤ T ( r ) ≤ L − 1 0\le T(r)\le L-1 0≤T(r)≤L−1.
假使我们想从 s s s逆推回 r r r, 那么就是 T T T的逆变换。如果想这个倒推成立，那么就需要是严格递增函数，不然自变量与因变量就不是一一对应的关系。
直方图均衡化基于概率密度函数(PDF:probability density function)，产生一个随机变量。
连续变量 r , s r,s r,s
p s ( s ) = p r ( r ) ∣ d r d s ∣ = p r ( r ) ∣ 1 ( L − 1 ) p r ( r ) = 1 L − 1 , 0 ≤ s ≤ L − 1 p_s(s)=p_r(r)\left\vert\frac{dr}{ds}\right\vert=p_r(r)\vert\frac 1 {(L-1)p_r(r)}=\frac 1{L-1},\quad 0\le s\le L-1 ps(s)=pr(r) dsdr =pr(r)∣(L−1)pr(r)1=L−11,0≤s≤L−1
其中 p r ( r ) , p s ( s ) p_r(r), p_s(s) pr(r),ps(s)分别表示两幅不同图像中灰度值 r , s r,s r,s的概率密度函数(PDF). p p p的下标表明 p r , p s p_r,p_s pr,ps是不同的函数。可见 p s ( s ) p_s(s) ps(s)是均匀(uniform)PDF, T ( r ) T(r) T(r)取决于 p r ( r ) p_r(r) pr(r), 但 p s ( s ) p_s(s) ps(s)永远是均匀的。
**概率论基本结论：**若已知 p r ( r ) , T ( r ) p_r(r),T(r) pr(r),T(r), 且 T ( r ) T(r) T(r)是连续的且在感兴趣的值域上是可微的，则变换侯的变量 s s s的PDF是：
p s ( s ) = p r ( r ) ∣ d r d s ∣ p_s(s)=p_r(r)\left\vert\frac{dr}{ds}\right\vert ps(s)=pr(r) dsdr 累计分布函数 (CDF: cumulative distribution function)：由于PDF总为正，且函数的积分是函数下方的面积，因此可以证明 s = T ( r ) s=T(r) s=T(r)是单调递增函数。
s = T ( r ) = ∫ 0 r p r ( w ) d w s=T(r)=\int^r_0 p_r(w)dw s=T(r)=∫0rpr(w)dw
计算微分：
d s d r = d T ( r ) d r = d [ ∫ 0 r p r ( w ) d w ] d r = p r ( r ) p s ( s ) = p r ( r ) ∣ d r d s ∣ = p r ( r ) ∗ 1 p r ( r ) = 1 , 0 ≤ s ≤ 1 \frac{ds}{dr}=\frac{dT(r)}{dr}=\frac{d\left[\int^r_0 p_r(w)dw\right]}{dr}=p_r(r)\\ p_s(s)=p_r(r)\left\vert\frac{dr}{ds}\right\vert=p_r(r)*\frac{1}{p_r(r)}=1,\quad 0\le s\le 1 drds=drdT(r)=drd[∫0rpr(w)dw]=pr(r)ps(s)=pr(r) dsdr =pr(r)∗pr(r)1=1,0≤s≤1
假如说 0 ≤ s ≤ L − 1 0\le s\le L-1 0≤s≤L−1，则有：
p s ( s ) = p r ( r ) ∣ d r d s ∣ = p r ( r ) ∗ 1 ( L − 1 ) p r ( r ) = 1 L − 1 , 0 ≤ s ≤ L − 1 p_s(s)=p_r(r)\left\vert\frac{dr}{ds}\right\vert=p_r(r)*\frac{1}{(L-1)p_r(r)}=\frac 1 {L-1}, \quad 0\le s\le L-1 ps(s)=pr(r) dsdr =pr(r)∗(L−1)pr(r)1=L−11,0≤s≤L−1
离散变量 r , s r,s r,s
在离散的条件下有, 下列数学表达。需要注意，第一个是书上给出、第二个是PPT中给出，二者没什么大的差别。灰度级 r k r_k rk在一副图像中出现的概率是：
p r ( r k ) = h ( r k ) M N = n k M N p r ( r k ) = n k N , k = 0 , 1 , ... , L − 1 p_r(r_k)=\frac{h(r_k)}{MN}=\frac{n_k}{MN} \\ p_r(r_k)=\frac{n_k}{N},\quad k=0,1,\dots,L-1 pr(rk)=MNh(rk)=MNnkpr(rk)=Nnk,k=0,1,...,L−1
灰度映射函数是：
s = T ( r k ) = ∑ j − 0 k p r ( r j ) = ∑ j − 0 k n k M N s = T ( r k ) = ∑ j − 0 k p r ( r j ) = ∑ j = 0 k n j N s=T(r_k)=\sum^k_{j-0}p_r(r_j)=\sum^k_{j-0}\frac{n_k}{MN}\\ s=T(r_k)=\sum^k_{j-0}p_r(r_j)=\sum^k_{j=0}\frac{n_j}{N} s=T(rk)=j−0∑kpr(rj)=j−0∑kMNnks=T(rk)=j−0∑kpr(rj)=j=0∑kNnj
使用这个函数可以将输入图像中灰度级为 r k r_k rk的每个像素映射到输出图像中灰度级为 s k s_k sk的对应像素，这称为直方图均衡化/直方图线性化变换。
令 r , z r,z r,z是PDF p r ( r ) , p z ( Z ) p_r(r),p_z(Z) pr(r),pz(Z)的随机变量。 r , z r,z r,z分别表示输入图像和输出图像的灰度级。 p z ( z ) p_z(z) pz(z)是规定的PDF，是我们希望输出图像具有的。
计算直方图匹配三步走：
计算输入图像的直方图 p r ( r ) p_r(r) pr(r), 得到 s k s_k sk
计算 G ( z q ) = ( L − 1 ) ∑ i = 0 q p z ( z i ) G(z_q)=(L-1)\sum^q_{i=0}p_z(z_i) G(zq)=(L−1)∑i=0qpz(zi)， p z ( z ) p_z(z) pz(z)是规定直方图的所有值。
计算 G ( z q ) = s k G(z_q)=s_k G(zq)=sk, 求 G − 1 G^{-1} G−1, 找到对应的 z q z_q zq的对应值，匹配，形成直方图规定化后的图像。
连续变量 r , s , z r,s,z r,s,z
令 s s s是一个具有如下性质的随机变量：
s = T ( r ) = ( L − 1 ) ∫ 0 r p r ( w ) d w s=T(r)=(L-1)\int^r_0p_r(w)dw s=T(r)=(L−1)∫0rpr(w)dw
定义关于变量 z z z的一个函数 G G G, 它具有如下的性质：
G ( z ) = ( L − 1 ) ∫ 0 z p z ( v ) d v = s G(z)=(L-1)\int^z_0p_z(v)dv=s G(z)=(L−1)∫0zpz(v)dv=s
由这两个公式可知： G ( z ) = s = T ( r ) G(z)=s=T(r) G(z)=s=T(r), 因此 z z z必定满足条件：
z = G − 1 ( s ) = G − 1 [ T ( r ) ] z=G^{-1}(s)=G^{-1}[T(r)] z=G−1(s)=G−1[T(r)]
使用输入图像算出 p r ( r ) p_r(r) pr(r)后，就可以得到 s s s, 有了 s s s, 就能得到 p z ( z ) p_z(z) pz(z)
离散变量 r , s , z r,s,z r,s,z
s k = T ( r k ) = ( L − 1 ) ∑ j = 0 k p r ( r j ) , k = 0 , 1 , ... , L − 1 G ( z q ) = ( L − 1 ) ∑ i = 0 q p z ( z i ) = s k z q = G − 1 ( s k ) s_k=T(r_k)=(L-1)\sum^k_{j=0}p_r(r_j),\quad k=0,1,\dots,L-1\\ G(z_q)=(L-1)\sum^q_{i=0}p_z(z_i)=s_k\\ z_q=G^{-1}(s_k) sk=T(rk)=(L−1)j=0∑kpr(rj),k=0,1,...,L−1G(zq)=(L−1)i=0∑qpz(zi)=skzq=G−1(sk)
可叠加性： H [ f 1 ( x , y ) + f 2 ( x , y ) ] = H [ f 1 ( x , y ) ] + H [ f 2 ( x , y ) ] H[f_1(x,y)+f_2(x,y)]=H[f_1(x,y)]+H[f_2(x,y)] H[f1(x,y)+f2(x,y)]=H[f1(x,y)]+H[f2(x,y)]
伸缩性： H [ a f ( x , y ) ] = a H [ f ( x , y ) ] H[af(x,y)]=aH[f(x,y)] H[af(x,y)]=aH[f(x,y)]
移不变系统 H H H: 规律不会随着移动进行改变。比如时不变：不会随着时间改变而改变。
移不变性： H [ f ( x , y ) ] = g ( x , y ) , H [ f ( x − a , y − b ) ] = g ( x − a , y − b ) H[f(x,y)]=g(x,y),H[f(x-a,y-b)]=g(x-a,y-b) H[f(x,y)]=g(x,y),H[f(x−a,y−b)]=g(x−a,y−b)
对一个线性移不变系统而言：它的单位脉冲响应=系统的响应特性。
即，只要知道了这个系统的单位脉冲响应，我就能推断处这个系统对任何输入的响应。
卷积时用于计算线性移不变系统输入与输出的数学模型：如果知道该系统的单位脉冲响应 h ( x , y ) h(x,y) h(x,y)，则该系统的输入 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)与输出 g ( x , y ) g(x,y) g(x,y)之间可以表示为: g ( x , y ) = f ( x , y ) ∗ h ( x , y ) g(x,y)=f(x,y)* h(x,y) g(x,y)=f(x,y)∗h(x,y).
强无敌例子说明
首先
z [ t ] = x [ t ] ∗ y [ t ] = [ 1 ] ∗ [ 2 0 − 2 ] = [ 2 0 − 2 ] z[t] = x[t] * y[t] = [1] * [2 \ 0 \ -2] = [2 \ 0 \ -2] z[t]=x[t]∗y[t]=[1]∗[2 0 −2]=[2 0 −2]
一般地当输入 (单位脉冲响应$)
x [ t ] = [ 1 ] , x[t] = [1], x[t]=[1],
有
z [ t ] = x [ t ] ∗ y [ t ] = y [ t ] z[t] = x[t] * y[t] = y[t] z[t]=x[t]∗y[t]=y[t]
当我们把信号 x 0 , x 1 , x 2 x_0, x_1, x_2 x0,x1,x2 叠加起来刺激系统时，有响应变成对应响应的叠加：
z [ t ] = z 0 + z 1 + z 2 = [ 2 , 4 , 4 , − 4 , − 6 ] z[t] = z_0 + z_1 + z_2 = [2, 4, 4, -4, -6] z[t]=z0+z1+z2=[2,4,4,−4,−6]
线性空间滤波(Linear Spatial Filtering)
对一幅图像 f M × N f_{M\times N} fM×N, 大小为 m × n m\times n m×n的线性滤波器掩码为：
g ( x , y ) = ∑ s = − a a ∑ t = − b b w ( s , t ) f ( x + s , y + t ) a = m − 1 2 , b = n − 1 2 g(x,y)=\sum^a_{s=-a}\sum^b_{t=-b}w(s,t)f(x+s,y+t)\\ a=\frac{m-1}{2},b=\frac{n-1}2 g(x,y)=s=−a∑at=−b∑bw(s,t)f(x+s,y+t)a=2m−1,b=2n−1
上式称为相关。Filter masks(滤波器掩码)有时也叫做卷积掩码/卷积核。
Correlation v.s. Convolution
相关运算：在图像上移动核的中心，并且在每个位置计算乘积之和。
( f ⋆ g ) ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ f ∗ ( t ) g ( t + τ ) ( f ⋆ g ) [ n ] = ∑ m = − ∞ ∞ f [ m ] g [ m + n ] \begin{align} (f\star g)(\tau)&=\int^\infty_{-\infty}f^*(t)g(t+\tau)\\ (f\star g)[n]&=\sum^{\infty}_{m=-\infty}f[m]g[m+n] \end{align} (f⋆g)(τ)(f⋆g)[n]=∫−∞∞f∗(t)g(t+τ)=m=−∞∑∞f[m]g[m+n]
卷积运算：将相关运算的核旋转180°。
( f ∗ g ) ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) g ( − t + τ ) ( f ∗ g ) [ n ] = ∑ m = − ∞ ∞ f [ m ] g [ − m + n ] \begin{align} (f* g)(\tau)&=\int^\infty_{-\infty}f(t)g(-t+\tau)\\ (f* g)[n]&=\sum^{\infty}_{m=-\infty}f[m]g[-m+n] \end{align} (f∗g)(τ)(f∗g)[n]=∫−∞∞f(t)g(−t+τ)=m=−∞∑∞f[m]g[−m+n]
对于这个例子，
"same" correlation res: 08242100
"same" convolution res:01242800
书中给出的二维定义：
convolution: ( w ∗ f ) ( x , y ) = ∑ s = − a a ∑ t = − b b w ( s , t ) f ( x − s , y − t ) correlation: ( w ⋆ f ) ( x , y ) = ∑ s = − a a ∑ t = − b b w ( s , t ) f ( x + s , y + t ) \text{convolution:}(w*f)(x,y)=\sum^a_{s=-a}\sum^b_{t=-b} w(s,t)f(x-s,y-t)\\ \text{correlation:}(w\star f)(x,y)=\sum^a_{s=-a}\sum^b_{t=-b} w(s,t)f(x+s,y+t) convolution:(w∗f)(x,y)=s=−a∑at=−b∑bw(s,t)f(x−s,y−t)correlation:(w⋆f)(x,y)=s=−a∑at=−b∑bw(s,t)f(x+s,y+t)
性质
卷积(Convolution)
相关(Correlation)
交换性
f ∗ g = g ∗ f f*g=g*f f∗g=g∗f
---
结合性
f ∗ ( g ∗ h ) = ( f ∗ g ) ∗ h f*(g*h)=(f*g)*h f∗(g∗h)=(f∗g)∗h
---
分配性
f ∗ ( g + h ) = f ∗ g + f ∗ h f*(g+h)=f*g+f*h f∗(g+h)=f∗g+f∗h
f ⋆ ( g + h ) = f ⋆ g + f ⋆ h f\star (g+h)=f\star g+f\star h f⋆(g+h)=f⋆g+f⋆h
给定一个大小为 M × N M\times N M×N的输入图像 f f f和一个大小为 m × n m\times n m×n的邻域，函数 colfilt 生成一个最大大小为 m n × M N mn × MN mn×MN 的矩阵，称为 A: 每列对应于以图像中某个位置为中心的邻域所包含的像素。
锐化(高通)空间滤波器(Sharpening Spatial Filters)
平滑称为低通滤波、锐化称为高通滤波。就是图像的边缘处强度发生较大变化。
锐化目的：是突显图像中的精细细节或增强模糊的细节。
锐化通常通过空间微分来实现。
数字函数的导数以差分/差值的形式定义。
对于一阶导数，我们要求它必须满足：（如 Sobel 算子，适合边缘检测）
∂ f ∂ x = f ( x + 1 ) − f ( x ) \frac{\partial f}{\partial x}=f(x+1)-f(x) ∂x∂f=f(x+1)−f(x)
在平坦段（灰度值恒定的区域）必须为零 。
在灰度阶跃或斜坡的开始处必须非零。
沿斜坡必须非零 。
对于二阶导数，我们要求它必须满足：（如 Laplacian 算子，可以增强图像细节，但可能放大噪声。）
∂ 2 f ∂ x 2 = f ( x + 1 ) + f ( x − 1 ) − 2 f ( x ) \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=f(x+1)+f(x-1)-2f(x) ∂x2∂2f=f(x+1)+f(x−1)−2f(x)
最简单的各向同性导数算子(核)是拉普拉斯，对于两个变量的函数图像 d ( x , y ) d(x,y) d(x,y), 它定义为:
∂ 2 f ∂ x 2 = f ( x + 1 , y ) + f ( x − 1 , y ) − 2 f ( x , y ) ∂ 2 f ∂ y 2 = f ( x , y + 1 ) + f ( x , y − 1 ) − 2 f ( x , y ) ∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = [ f ( x + 1 , y ) + f ( x − 1 , y ) + f ( x , y + 1 ) + f ( x , y − 1 ) ] − 4 f ( x , y ) \begin{align} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}&=f(x+1,y)+f(x-1,y)-2f(x,y)\\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}&=f(x,y+1)+f(x,y-1)-2f(x,y)\\ \nabla^2 f& = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\\ &= [f(x+1, y) + f(x-1, y) + f(x, y+1) + f(x, y-1)] - 4f(x, y) \end{align} ∂x2∂2f∂y2∂2f∇2f=f(x+1,y)+f(x−1,y)−2f(x,y)=f(x,y+1)+f(x,y−1)−2f(x,y)=∂x2∂2f+∂y2∂2f=[f(x+1,y)+f(x−1,y)+f(x,y+1)+f(x,y−1)]−4f(x,y)
钝化掩蔽通过从原图像中减去模糊化版本来实现锐化。
f s ( x , y ) = f ( x , y ) − f ˉ ( x , y ) f_s(x, y) = f(x, y) - \bar{f}(x, y) fs(x,y)=f(x,y)−fˉ(x,y)
其中 f s ( x , y ) f_s(x, y) fs(x,y) 表示锐化后图像， f ˉ ( x , y ) \bar{f}(x, y) fˉ(x,y) 是图像 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)的模糊版本。
模糊原图像
从原图像减去模糊后图像(产生的差称为模板)
将模板与原图像相加
高提升滤波
然后，将加权后的模板与原图像相加, 得到 f h b ( x , y ) f_{hb}(x, y) fhb(x,y)：
f h b ( x , y ) = A f ( x , y ) − f ˉ ( x , y ) f_{hb}(x, y) = A f(x, y) - \bar{f}(x, y) fhb(x,y)=Af(x,y)−fˉ(x,y)
其中 A ≥ 1 A \geq 1 A≥1, f ˉ ( x , y ) \bar{f}(x, y) fˉ(x,y)是 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)的模糊版本。.
更近一步，还能得到：
f h b ( x , y ) = ( A − 1 ) f ( x , y ) + f ( x , y ) − f ˉ ( x , y ) f h b ( x , y ) = ( A − 1 ) f ( x , y ) + f s ( x , y ) f_{hb}(x, y) = (A - 1)f(x, y) + f(x, y) - \bar{f}(x, y)\\ f_{hb}(x, y) = (A - 1)f(x, y) + f_s(x, y) fhb(x,y)=(A−1)f(x,y)+f(x,y)−fˉ(x,y)fhb(x,y)=(A−1)f(x,y)+fs(x,y)
使用拉普拉斯算子进行锐化：当使用 ∇ 2 f ( x , y ) \nabla^2f(x, y) ∇2f(x,y)来计算锐化图像 f s ( x , y ) f_s(x, y) fs(x,y),高提升滤波的公式变为：
f h b ( x , y ) = ( A − 1 ) f ( x , y ) − ∇ 2 f ( x , y ) or f h b ( x , y ) = ( A − 1 ) f ( x , y ) + ∇ 2 f ( x , y ) f_{hb}(x, y) = (A - 1)f(x, y) - \nabla^2f(x, y)\\ \text{or}\ f_{hb}(x, y) = (A - 1)f(x, y) + \nabla^2f(x, y) fhb(x,y)=(A−1)f(x,y)−∇2f(x,y)or fhb(x,y)=(A−1)f(x,y)+∇2f(x,y)
然后，将加权后的模板与原图像相加, 得到 f h b ( x , y ) f_{hb}(x, y) fhb(x,y)：
f h b ( x , y ) = A f ( x , y ) − f ˉ ( x , y ) f_{hb}(x, y) = A f(x, y) - \bar{f}(x, y) fhb(x,y)=Af(x,y)−fˉ(x,y)
其中 A ≥ 1 A \geq 1 A≥1, f ˉ ( x , y ) \bar{f}(x, y) fˉ(x,y)是 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)的模糊版本。.
更近一步，还能得到：
f h b ( x , y ) = ( A − 1 ) f ( x , y ) + f ( x , y ) − f ˉ ( x , y ) f h b ( x , y ) = ( A − 1 ) f ( x , y ) + f s ( x , y ) f_{hb}(x, y) = (A - 1)f(x, y) + f(x, y) - \bar{f}(x, y)\\ f_{hb}(x, y) = (A - 1)f(x, y) + f_s(x, y) fhb(x,y)=(A−1)f(x,y)+f(x,y)−fˉ(x,y)fhb(x,y)=(A−1)f(x,y)+fs(x,y)
使用拉普拉斯算子进行锐化：当使用 ∇ 2 f ( x , y ) \nabla^2f(x, y) ∇2f(x,y)来计算锐化图像 f s ( x , y ) f_s(x, y) fs(x,y),高提升滤波的公式变为：
f h b ( x , y ) = ( A − 1 ) f ( x , y ) − ∇ 2 f ( x , y ) or f h b ( x , y ) = ( A − 1 ) f ( x , y ) + ∇ 2 f ( x , y ) f_{hb}(x, y) = (A - 1)f(x, y) - \nabla^2f(x, y)\\ \text{or}\ f_{hb}(x, y) = (A - 1)f(x, y) + \nabla^2f(x, y) fhb(x,y)=(A−1)f(x,y)−∇2f(x,y)or fhb(x,y)=(A−1)f(x,y)+∇2f(x,y)
