01 背包 - 技术栈

01 背包

田梓燊2025-01-03 21:07

文章目录

前言
代码
思路

前言

总是感觉有点没有完全懂，但是说起来的时候好像又懂一点点，就是我现在的状态。

代码

二维的直接的版本

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;
int f[N][N];
int v[N],w[N];
int n,m;

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=v[i]){
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
            }
        }
    }
    
    printf("%d\n",f[n][m]);
    return 0;
}

思路

我们把二维的优化为一维的数组的方法就是滚动数组，因为我们计算当前这个数组的元素的答案的时候，只用到了前面一个元素的数值，有点像斐波那契数列，每次只用到了前面两个数字来求和，这里甚至更加简单，只用了前面一个数字。

另外为什么 j 那一层优化之后要从大到小枚举呢，是因为，假设我们从小到大来进行枚举，枚举的答案一定是当前层的答案，好吧，其实不是很理解，算了先记住吧，就是假设想要优化为一维的，那就需要在枚举体积的时候从最大的体积枚举到当前商品的体积，枚举到当前商品的体积很好理解，假设小于当前商品的体积，背包放不下该物品。

难怪看到弹幕刷 orz ，我之前一直难以理解，现在突然懂了，就是一个自己很难理解清楚的东西，有一个人可以很清楚地，很细致地讲解出来，这确实很厉害，很值得敬佩。虽然我还是有点点没理解清楚。

滚动数组的意思是，用一个空间是 2 的数组，比如说 a $0$ 和 a $1$ ，然后 0 调用 1 ，然后 1 调用 0 ，然后 0 调用 1，然后 1 调用 0 ，有点像是左脚踩右脚，然后就能起飞的感觉。

一维优化之后的版本

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N=1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=m;j>=v[i];j--){
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    printf("%d\n",f[m]);
    
    return 0;
}

写到这里突然有点顿悟为什么体积要从到到小枚举了，假设我们从小到大进行枚举，那么每次算的是一个比较小的数值的答案，我们可以确定那个比较小的答案就是最大值吗，是这个意思吗。好像不是这么回事，算了，不想了。就这样吧。