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前言：
这些题目摘录于洛谷，好题，典型的题，考察各类算法运用，可用于蓝桥杯及各类算法比赛备战，算法题目练习，提高算法能力，补充知识，提升思维。
锻炼解题思路，从学会算法模板后，会分析，用到具体的题目上。
对应题目点链接即可做。
本期涉及算法：哈希表，前缀和，背包问题，特殊枚举，字符串函数运用与细节处理，贪心算法 。
题目清单
1.火柴棒等式
题目： P1149 [NOIP 2008 提高组] 火柴棒等式
解法：暴力枚举
n的最大值为24，由于 "+" 和 "=" 要用掉4根火柴，剩下20根火柴。 进行估算， 1111 + 1 = 1112 要用掉25根火柴，所以四位数以上不考虑。711 + 0 = 711，满足条件，所以枚举所有1~1000即可，判断是否刚好等于n。
细节： 因为不能有前导0，要对0特殊处理
代码：
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
int n;
int a[] = {6, 2, 5, 5, 4, 5, 6, 3, 7, 6};
int calc(int x)
{
if(x == 0) return 6; //边界处理
int sum = 0;
while(x)
{
sum += a[x % 10];
x /= 10;
}
return sum;
}
int main()
{
cin >> n;
int ret = 0;
for(int a = 0; a <= 1000; a++)
{
for(int b = 0; b <= 1000; b++)
{
int c = a + b;
if(calc(a) + calc(b) + calc(c) + 4 == n)
ret++;
}
}
cout << ret << endl;
return 0;
}2.导弹拦截
题目： P1158 [NOIP 2010 普及组] 导弹拦截
解法：特殊枚举 + 排序
模型转化，将导弹，拦截系统位置和拦截区域范围看成点，圆心，和半径。 问题就转化为包含所有的点，求出两个半径的最小平方和。
首先，这里很容易想到错误的贪心策略，就是枚举所有的导弹，将每个导弹分配到近的那个中心区域，这样看似满足最短距离，实则错误，如下：
这道题的枚举策略，思路很特别，需要好好积累。
就是固定一个圆的半径，那么它能包含的点就固定，另外一个原的半径就为圆心到未包含的最远的点的距离。
我们可以现予处理出所有的点到第一个圆心的距离，然后从大到小进行排序，对其进行枚举，相当于第一个圆的区域范围不断变小，至少放出一个点给第二个圆包含，每次进行max,求第二个圆范围，再不断min更新结果，枚举处所有情况的最小值。
注意： 循环到n+1,处理第一个圆半径为0的边界 。
代码：
cpp
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int x1, y1, x2, y2, n;
struct node
{
int x, y, d;
}a[N];
int calc(int i, int x, int y)
{
int dx = x - a[i].x;
int dy = y - a[i].y;
return dx * dx + dy * dy;
}
bool cmp(node& a, node& b)
{
return a.d > b.d;
}
int main()
{
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> a[i].x >> a[i].y;
a[i].d = calc(i, x1, y1);
}
sort(a + 1, a + 1 + n, cmp);
int ret = a[1].d;
int r2 = 0;
for(int i = 2; i <= n + 1; i++) //循环到n+1,处理第一个圆半径为0的边界
{
int r1 = a[i].d;
r2 = max(r2, calc(i - 1, x2, y2));
ret = min(ret, r1 + r2);
}
cout << ret << endl;
return 0;
}3.铺设道路
题目： P5019 [NOIP 2018 提高组] 铺设道路
解法：贪心
从前往后遍历对于第i个，分两类情况：
1.a[i - 1] < a[i]: 只需要填上a[i] - a[i - 1], 因为a[i - 1] 的部分会在处理a[i - 1]时填上；
2.a[i - 1] >= a[i]: 不需要填，因为前面填a[i - 1]时会填上。
代码：
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
int a[N];
int main()
{
cin >> n;
int ret = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> a[i];
if(a[i] > a[i - 1])
{
ret += a[i] - a[i - 1];
}
}
cout << ret << endl;
return 0;
}4.Shaass and Bookshelf
题目： CF294B Shaass and Bookshelf
解法：（动态规划）01背包
如果在选择每一本书摆放位置的时候，既考虑上面的宽度，又考虑下面厚度，解决起来非常麻烦。
这里类比"导弹拦截"那道题的的思路。
如果看水平放置的书籍，确定下来之后，下面的书籍的厚度是可以用总厚度sum 减去上面书籍的厚度i直接计算出来。这样，我们只用考虑上面书籍的所有厚度下的最小宽度，然后计算对应下面书籍的厚度是否合法即可。计算上面书籍所有可能的厚度下的最小宽度，正好对应01 背包问题。
1.状态表示：
f[i] [j]表示：从前i 个书本中挑选，水平放置的时候，总厚度恰好为j 时，此时的最小宽度。
注意： 处理结果与以往不同，最终结果就是所有符合sum - j >= f[j] 里面,sum - j的最小值。（j越大，sum - j越小,第一个合法的即为最小值 ）
2.状态转移方程：
对于i 位置的书籍，有选或不选两种情况：
a.如果不选：那就是在 [1,i − 1] 区间内，去凑厚度恰好为j时的最小宽度 f[i - 1] [j] ；
b.如果选上i 位置书籍：那就是在 [i,i − 1] 区间内，去凑厚度恰好为 j - t[i] 时的最小宽度，然后再加上i 位置宽度f[i - 1] [j - t[i] + w[i]；
因为要的是最小值，所以取上面两种情况的最小值。其中第二种情况注意判断是否存在。
3.初始化：
可以把f表初始化为正无穷0x3f3f3f3f，然后f[0] [0]初始化为0。
不合法的状态初始化为无穷大，取最小值的时候就不会影响结果；
f[0] [0]是一个合法的位置，同时也为了让后续填表是正确的。
4.填表顺序：
从上往下每一行，每一行从左往右。
空间优化版本：每一行从右往左。（优化一维，逆序）
代码：
cpp
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 110, M = 1e4 + 10;
int n;
int t[N], w[N];
int f[M]; //f[N][M] 优化一维， f[i][j],从前i本书挑选，水平放置厚度为j，此时的最小宽度
int main()
{
cin >> n;
int sum = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> t[i] >> w[i];
sum += t[i];
}
memset(f, 0x3f, sizeof f);
f[0] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = sum; j >= t[i]; j--) //优化一维，逆序
{
f[j] = min(f[j], f[j - t[i]] + w[i]);
}
}
for(int j = sum; j >= 0; j--) //j越大，sum - j越小
{
if(f[j] <= sum - j) //第一个合法的即为最小值
{
cout << sum - j << endl;
break;
}
}
return 0;
}5.统计单词数
题目： P1308 [NOIP 2011 普及组] 统计单词数
解法：模拟 + 字符串函数t.find(s)
细节处理：1.读入两行字符串，要用getchar()函数 读取处理"\n"；2. 第二行有空格 ，要用getline(cin, string) 读取。3.这里对其精妙的处理方法，预处理目标字符串和查找字符串首尾加上' '（空格），这样就不会出现所查找的字符串是文章单词的部分； 4.对find()的运用，t.find(s)是在字符串t中从起始位置查找s字符串出现的第一个位置并返回，可以用下标first存结果（第一个的位置），pos++,找后面的位置，t.find(pos,s)。
代码：
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
string s, t;
cin >> s;
getchar(); //读入换行符
getline(cin, t); //要读空格
//预处理
s = ' ' + s + ' ';
t = ' ' + t + ' ';
//大写转小写
for(int i = 0; i < s.size(); i++)
{
s[i] = tolower(s[i]);
}
for(int i = 0; i < t.size(); i++)
{
t[i] = tolower(t[i]);
}
int cnt = 0, first = 0;
if(t.find(s) == -1)
{
cout << -1 << endl;
}
else
{
first = t.find(s);
int pos = 0;
while(t.find(s, pos) != -1)
{
pos = t.find(s, pos);
cnt++;
pos++;
}
cout << cnt << " " << first << endl;
}
return 0;
}6.连续自然数和
题目： P1147 连续自然数和
解法：前缀和 + 哈希表
对于一个连续的区间求和，首先想到前缀和进行处理，要找一个区间的值为m,那么就起始点到这点i的和sum（前缀和)➖ 前面某点j的区间和为sum - m即为m区间，注意： 对应m区间下标为 [j + 1, i] 。而要想快速知道前缀和对应的下标，可以用经典的套路 前缀和 + 哈希表 ，mp[sum] = i, 即为前缀和为sum对应的索引。
代码：
cpp
#include <iostream>
#include <unordered_map>
using namespace std;
typedef long long LL;
int m;
unordered_map<LL, int> mp; //前缀和对应的索引
int main()
{
cin >> m;
int n = (m + 1) / 2; //枚举范围
mp[0] = 0; //<0, 0> 赋值语句（执行操作）不能直接在全局作用域执行
LL sum = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
sum += i;
//sum - m
if(mp.count(sum - m))
{
cout << mp[sum - m] + 1 << " " << i << endl;
}
mp[sum] = i;
}
return 0;
}
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