数据结构与算法学习笔记----快速幂

数据结构与算法学习笔记----快速幂

@@ author: 明月清了个风

@@ first publish time: 2025.1.2

ps⭐️快速幂的两道模版题，快速幂，乘法逆元，费马小定理

Acwing 875. 快速幂

原题链接\]([875. 快速幂 - AcWing题库](https://www.acwing.com/problem/content/877/)) 给定 n n n组 a i , b i , p i a_i,b_i,p_i ai,bi,pi，对于每组数据，求出 a i b i    m o d    p i a_i\^{b_i} \\; mod \\; p_i aibimodpi的值 #### 输入格式 第一行包含整数 n n n， 接下来 n n n行，每行包含三个整数 a i , b i , p i a_i,b_i,p_i ai,bi,pi。 #### 输出格式 对于每组数据，输出一个结果，表示 a i b i    m o d    p i a_i\^{b_i} \\; mod \\; p_i aibimodpi的值。 每个结果占一行。 #### 数据范围 1 ≤ n ≤ 100000 1 \\le n \\le 100000 1≤n≤100000, 1 ≤ a i , b i , p i ≤ 2 × 1 0 9 1 \\le a_i,b_i,p_i \\le 2\\times 10\^9 1≤ai,bi,pi≤2×109、 #### 思路 快速幂是一种高效的计算整数幂的算法，适用于大数的幂运算，比如这题的数据范围， a i , b i , p i a_i,b_i,p_i ai,bi,pi都可以到亿的级别，通过快速幂可以将暴力运算的 O ( n ) O(n) O(n)时间复杂度优化到 O ( log ⁡ n ) O(\\log n) O(logn)级别， n n n是幂的范围。 **核心思想** ：将指数 b b b通过二进制分解，从而达到 log ⁡ b \\log b logb的运算量，也就是 a b    m o d    p = a ( 2 x 1 ) + 2 x 2 + ⋯ + 2 x k    m o d    p = a 2 x 1 a 2 x 2 ⋯ a 2 x k    m o d    p = ( a 2 x 1 m o d    p ) ⋅ ( a 2 x 2 m o d    p ) ⋯ ( a 2 x k m o d    p ) \\begin{align\*} a\^b \\; mod \\; p \& = a\^{(2\^{x_1}) + 2\^{x_2} + \\cdots + 2\^{x_k}} \\; mod \\; p \\\\ \& = a\^{2 \^ {x_1}} a\^{2 \^ {x_2}} \\cdots a\^{2\^{x_k}} \\; mod \\; p \\\\ \& = (a\^{2\^{x_1}}mod \\;p)\\cdot(a\^{2\^{x_2}}mod \\;p) \\cdots(a\^{2\^{x_k}}mod \\;p) \\\\ \\end{align\*} abmodp=a(2x1)+2x2+⋯+2xkmodp=a2x1a2x2⋯a2xkmodp=(a2x1modp)⋅(a2x2modp)⋯(a2xkmodp) 在代码中，我们也无需对 k k k的二进制分解及 a x a\^x ax进行预处理，只需要边运算边处理就行，具体看下面代码吧，代码还是很清晰的。 #### 代码 ```cpp #include #include using namespace std; typedef long long LL; int qmi(int a, int k, int p) { int res = 1; while(k) { if(k & 1) res = (LL) res * a % p; // 从k的二进制表示最低位开始，也就是2的0次方，此时a的2的0次方就是a k >>= 1; // 每次右移一位 a = (LL) a * a % p; // 每次将a平方，因为a上面是2的次方，每次提高一位相当于乘一个a的2的0次方，就是a } return res; } int main() { int n; cin >> n; while(n --) { int a, b, p; cin >> a >> b >> p; cout << qmi(a, b, p) << endl; } return 0; } ``` ### Acwing 876. 快速幂求逆元 \[原题链接\]([876. 快速幂求逆元 - AcWing题库](https://www.acwing.com/problem/content/878/)) 给定 n n n组 a i , p i a_i,p_i ai,pi，其中 p i p_i pi是质数，求 a i a_i ai模 p i p_i pi的乘法逆元，若逆元不存在则输出`impossible`。 注意：请返回 0 ∼ p − 1 0 \\sim p - 1 0∼p−1之间的逆元。 **乘法逆元的定义**： > 若整数 b ， m b，m b，m互质，并且对于任意的整数 a a a，如果满足 b ∣ a b\|a b∣a，则存在一个整数 x x x，使得 a b ≡ a × x ( m o d    m ) \\frac{a}{b} \\equiv a \\times x (mod \\; m) ba≡a×x(modm)，则称 x x x为 b b b模 m m m的乘法逆元，记为 b − 1 ( m o d    m ) b\^{-1}(mod \\; m) b−1(modm)。 > > b b b存在乘法逆元的充要条件是 b b b与模数 m m m互质，当模数 m m m为质数时， b m − 2 b\^{m - 2} bm−2即为 b b b的乘法逆元。 #### 输入格式 第一行包含整数 n n n， 接下来 n n n行，每行包含一个数组 a i , p i a_i,p_i ai,pi，数据保证 p i p_i pi是质数。 #### 输出格式 输出共 n n n行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。 若 a i a_i ai模 p i p_i pi的乘法逆元存在，则输出一个整数表示逆元，否则输出`impossbile`。 #### 数据范围 1 ≤ n ≤ 1 0 5 1 \\le n \\le 10\^5 1≤n≤105， 1 ≤ a i , p i ≤ 2 ∗ 1 0 9 1 \\le a_i, p_i \\le 2 \* 10\^9 1≤ai,pi≤2∗109 #### 思路 主要的难点是定义比较绕，我们可以对定义的式子进行一些变形 a b ≡ a × x ( m o d    m ) (1) \\frac{a}{b} \\equiv a \\times x (mod \\; m) \\tag{1} ba≡a×x(modm)(1) 在式(1)的两边同乘 b b b，我们可以得到式(2) a ≡ b × a × x ( m o d    m ) (2) a \\equiv b \\times a \\times x (mod \\; m) \\tag{2} a≡b×a×x(modm)(2) 两边再同时除 a a a可以得到 1 ≡ b × x ( m o d    m ) (3) 1 \\equiv b \\times x (mod \\; m) \\tag{3} 1≡b×x(modm)(3) 因此我们要求的就是一个 x x x，可以使 b × x ≡ 1 ( m o d    m ) b \\times x \\equiv 1 (mod \\; m) b×x≡1(modm) 还有一个注意点是 b b b存在乘法逆元的充要条件是模数 m m m与 b b b互质，题目中给出了条件模数 p i p_i pi保证了是质数，也就是保证了这个条件。 这里需要补充一个额外的定理：**费马小定理** > 当 m m m是一个质数，对于任意整数 a a a（ a a a不被 m m m整除），有 a m − 1 ≡ 1 ( m o d    m ) a\^{m- 1} \\equiv 1 (mod \\; m) am−1≡1(modm) 那么对费马小定理的这个公式进行变形，拆分次方可得 a ⋅ a m − 2 ≡ 1    ( m o d    m ) a \\cdot a\^{m - 2} \\equiv 1 \\; (mod \\; m) a⋅am−2≡1(modm)，我们就能直接得到 a a a的乘法逆元是 a m − 2 a\^{m - 2} am−2。 因此问题转换为求 a m − 2 a\^{m - 2} am−2，也就是应用上面的快速幂。 需要注意的是题目虽然保证了 p p p是一个质数，但是却被没有保证我们的充要条件，也就是 a i a_i ai与 p i p_i pi互质，因此需要判断 a i a_i ai是否是 p i p_i pi的倍数，只有这样的情况他们才不互质。 #### 代码 ```cpp #include #include #include #include using namespace std; typedef long long LL; int qmi(int a, int k, int p) { int res = 1; while(k) { if(k & 1) res = (LL) res * a % p; k >>= 1; a = (LL) a * a % p; } return res; } int main() { int n; cin >> n; while(n --) { int a, p; cin >> a >> p; if(a % p == 0) puts("impossible"); else cout << qmi(a, p - 2, p) << endl; } return 0; } ```