06对偶空间与对偶格
一、对偶空间
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定义
设 VVV 是域 P\mathbb{P}P 上的线性空间，线性函数（是从一个线性空间中的V映射到数域P\mathbb{P}P的映射） f:V→Pf: V \to \mathbb{P}f:V→P 满足：
f(α+β)=f(α)+f(β),f(kα)=kf(α),∀α,β∈V,k∈P f(\alpha + \beta) = f(\alpha) + f(\beta), \quad f(k\alpha) = kf(\alpha), \quad \forall \alpha,\beta \in V, k \in \mathbb{P} f(α+β)=f(α)+f(β),f(kα)=kf(α),∀α,β∈V,k∈P -
对偶空间 V∗V^*V∗
- 定义：VVV 上全体线性函数的集合 L(V,P)L(V, \mathbb{P})L(V,P) 构成线性空间
- 运算：
(f+g)(x)=f(x)+g(x),(kf)(x)=kf(x) (f+g)(x) = f(x) + g(x), \quad (kf)(x) = kf(x) (f+g)(x)=f(x)+g(x),(kf)(x)=kf(x)
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对偶的对偶 V∗∗V^{ **}V∗∗
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定义：对 x∈Vx \in Vx∈V，定义映射 x∗∗:V∗→Px^{**}: V^* \to \mathbb{P}x∗∗:V∗→P 满足 x∗∗(f)=f(x)x^{**}(f) = f(x)x∗∗(f)=f(x)
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性质：
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x∗∗x^{**}x∗∗ 是 V∗V^*V∗ 上的线性函数
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有限维时 存在自然同构 V≅V∗∗V \cong V^{**}V≅V∗∗
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核心思想：通过双线性形式 ⟨x,f⟩=f(x)\langle x, f \rangle = f(x)⟨x,f⟩=f(x) 体现对称性
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二、对偶格
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基本定义
Λ^={x∈span(Λ)∣⟨x,y⟩∈Z, ∀y∈Λ} \widehat{\Lambda} = \{ x \in \text{span}(\Lambda) \mid \langle x, y \rangle \in \mathbb{Z}, \ \forall y \in \Lambda \} Λ ={x∈span(Λ)∣⟨x,y⟩∈Z, ∀y∈Λ} -
对偶基定理
D=B(BTB)−1 D = B(B^T B)^{-1} D=B(BTB)−1 -
性质
- Gram 矩阵关系 ：
(BTB)−1=DTD(已验证正确) (B^T B)^{-1} = D^T D \quad \text{(已验证正确)} (BTB)−1=DTD(已验证正确) - 行列式关系 ：
det(Λ^)=1det(Λ) \det(\widehat{\Lambda}) = \frac{1}{\det(\Lambda)} det(Λ )=det(Λ)1 - 缩放定理 ：
(c⋅Λ)^=1c⋅Λ^ \widehat{(c \cdot \Lambda)} = \tfrac{1}{c} \cdot \widehat{\Lambda} (c⋅Λ) =c1⋅Λ - 包含关系定理 ：
Λ1⊆Λ2 ⟺ Λ^1⊇Λ^2(当 span(Λ1)=span(Λ2)) \Lambda_1 \subseteq \Lambda_2 \iff \widehat{\Lambda}_1 \supseteq \widehat{\Lambda}_2 \quad (\text{当 } \text{span}(\Lambda_1)=\text{span}(\Lambda_2)) Λ1⊆Λ2⟺Λ 1⊇Λ 2(当 span(Λ1)=span(Λ2)) - 密度关系 ：
Λ1⊆Λ2 ⟹ Λ^1⊇Λ^2 \Lambda_1 \subseteq \Lambda_2 \implies \widehat{\Lambda}_1 \supseteq \widehat{\Lambda}_2 Λ1⊆Λ2⟹Λ 1⊇Λ 2
行列式解释：det(Λ1)≤det(Λ2) ⟹ det(Λ^1)≥det(Λ^2)\det(\Lambda_1) \leq \det(\Lambda_2) \implies \det(\widehat{\Lambda}_1) \geq \det(\widehat{\Lambda}_2)det(Λ1)≤det(Λ2)⟹det(Λ 1)≥det(Λ 2) - 对称性 ：
Λ^^=Λ \widehat{\widehat{\Lambda}} = \Lambda Λ =Λ - 对偶基等价条件 ：
span(B)=span(D),并且BTD=DTB=In \text{span}(B) = \text{span}(D),并且\quad B^T D = D^T B = I_n span(B)=span(D),并且BTD=DTB=In - DTl∈ZnD^T\boldsymbol{l}\in\mathbb{Z}^nDTl∈Zn对所有的l∈Λ\boldsymbol{l}\in\Lambdal∈Λ成立（因为bi⋅l∈Z\boldsymbol{b_i}\cdot \boldsymbol{l} \in \mathbb{Z}bi⋅l∈Z）
证明:
格 Λ\boldsymbol{\Lambda}Λ中的任意元素l\boldsymbol{l}l可表示为 基的整数线性组合 ：
l=Bk,k∈Zn \boldsymbol{l} = B\boldsymbol{k}, \quad \boldsymbol{k} \in \mathbb{Z}^nl=Bk,k∈Zn
（因为格是离散加法子群，基的整数组合生成格。）
将 l=Bk\boldsymbol{l} = B\boldsymbol{k}l=Bk 代入 DTlD^T \boldsymbol{l}DTl：
DTl=DT(Bk)=(DTB)⏟等于 Ink=Ink=k D^T \boldsymbol{l} = D^T (B\boldsymbol{k}) = \underbrace{(D^T B)}_{\text{等于 } I_n} \boldsymbol{k} = I_n \boldsymbol{k} = \boldsymbol{k} DTl=DT(Bk)=等于 In (DTB)k=Ink=k
由于 k∈Zn\boldsymbol{k} \in \mathbb{Z}^nk∈Zn，因此 DTl∈ZnD^T \boldsymbol{l} \in \mathbb{Z}^nDTl∈Zn。
- Gram 矩阵关系 ：
三、整数格的特殊性质
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整数格定义
Λ⊆Zd\Lambda \subseteq \mathbb{Z}^dΛ⊆Zd 且是离散加法子群（不仅仅满足格的离散特性，并且格点坐标在原线性空间中的表示为整数）在之前的Rn\mathbb{R}^nRn的基础上加强了条件。 -
对偶格坐标定理
若 rank(Λ)=d\text{rank}(\Lambda) = drank(Λ)=d，则：
Λ^⊆1det(Λ)Zd \boxed{\widehat{\Lambda} \subseteq \tfrac{1}{\det(\Lambda)} \mathbb{Z}^d} Λ ⊆det(Λ)1Zd含义：整数格的对偶格，坐标都是 分母不超过原格行列式的分数，放大行列式倍后全变成整数
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缩放不变性
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一般情况 ：
det(Λ)2⋅(Zd∩span(Λ))⊆Λ \det(\Lambda)^2 \cdot (\mathbb{Z}^d \cap \text{span}(\Lambda)) \subseteq \Lambda det(Λ)2⋅(Zd∩span(Λ))⊆Λ -
满秩特例 ：
det(Λ)⋅Zd⊆Λ \det(\Lambda) \cdot \mathbb{Z}^d \subseteq \Lambda det(Λ)⋅Zd⊆Λ
几何解释：缩放后的标准格仍被包含非满秩的格 "约束较弱"，需要把整数向量放大det(Λ)\det(\Lambda)det(Λ)的平方倍，才能确保结果落在Λ\LambdaΛ里。而满秩格的张成空间是整个Rd\mathbb{R}^dRd，结构更 "紧密"，对整数向量的缩放要求更低（不需要平方倍）就能确保落在格中
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整数格（黑色--离散整数坐标）和一般格（红色--离散非整数坐标）
概念对比表
| 性质 | 对偶空间 V∗ V^* V∗ | 对偶格 Λ^ \widehat{\Lambda} Λ |
|---|---|---|
| 定义域 | 任意域 P P P | Rn \mathbb{R}^n Rn |
| 元素 | 线性函数 f:V→P f: V \to P f:V→P | 向量 x∈span(Λ) x \in \text{span}(\Lambda) x∈span(Λ) |
| 关键条件 | 线性性 | ⟨x,y⟩∈Z \langle x, y \rangle \in \mathbb{Z} ⟨x,y⟩∈Z |
| 对称性 | V≅V∗∗ V \cong V^{**} V≅V∗∗ | Λ^^=Λ \widehat{\widehat{\Lambda}} = \Lambda Λ =Λ |
| 行列式关系 | 不适用 | det(Λ^)=1/det(Λ) \det(\widehat{\Lambda}) = 1/\det(\Lambda) det(Λ )=1/det(Λ) |
| 密度关系 | 不适用 | 原格密集 → 对偶格稀疏 |