高等数学学习笔记 ☞ 一元函数微分的基础知识

1. 微分的定义

（1）定义：设函数在点的某领域内有定义，取附近的点，对应的函数值分别为和，

令，若可以表示成，则称函数在点是可微的。

【若函数在点是可微的，则可以表达为】

称为函数在点处，改变量的微分。记作：可微：；微分：。

备注：

①：通过绘图理解：是与无关的量，但与有关，就是函数在点处的导数，即。

②：通过绘图理解：根据可知，当时，，则有。

③：函数的微分是函数的增量主要部分，且是的线性函数，故称函数的微分是函数的增量的线性主部。

④：通常把自变量的增量称为自变量的微分，记作，即。

⑤：对于一元函数而言：可导即可微，可微即可导。

⑥：一元函数求微分的表达式：。想求微分，先求导，然后左右两边同乘。

（2）几何意义：通过绘图理解：函数的微分是函数在点处的切线对应于在纵坐标上的增量。

备注：：属于精确值；：属于的近似值。即：。

（3）实际应用：

①：根据，即：可得：，

可以把线性函数的数值计算结果作为原本函数的数值的近似值(的值选取要尽可能的小)。

②：根据可知，当比较小时，比要小的多(高阶无穷小)，因此函数在点附近可以

用切线来近似代替曲线段。它的直接应用就是函数的线性化。

当比较小时，则有：，，，，。

导数与微分的区别：导数解决的是函数的变化率的问题；微分解决的是函数的增量的问题。

2. 微分的中值定理

（1）费马引理：设函数在点的某领域内有定义，且在点处可导，对于点的某领域内任意，若或

，则函数在点处的导数为零，即(斜率为零)。

（2）罗尔中值定理：设函数在①：闭区间连续，②：开区间可导，③：，则在开区间上，

至少存在一点，使得。

说明函数图像的切线斜率，存在为0的情况。

（3）拉格朗日中值定理：设函数在①：闭区间连续，②：开区间可导，则在开区间上，至少存在一点，

使得。

说明函数图像的切线的斜率与由点和点所确定的直线的斜率，存在相等的情况。

备注：

①：设函数在区间上连续、可导且导数恒为0，则函数(为常数)。

②：当时，有：。

（4）柯西中值定理：设函数与在①：闭区间连续，②：开区间可导，③：，，

则在开区间上，至少存在一点，使得。

备注：柯西中值定理与拉格朗日中值定理最终表示的含义都是一样的。