一、入门示例1
1、问题描述
某宾馆有150间客房，经过一段时间的经营，该宾馆经理得到一些数据：如果每间客房定价为200元，入住率为55％；定价为180元，入住率为65％；定价为160元，入住率为75％；定价为140元，入住率为85％。
经理想要使每天的收入最高，问每间客房的定价应为多少？
2、模型假设
假设1：每间客房的最高定价为200元。
假设2：根据题目提供的数据，可设随着房价的下降，入住率呈线性增长。
假设3：宾馆的每间客房的定价相等。
3、模型建立
设
表示宾馆一天的总收入，与200元相比每间客房降低的房价为
元。由假设2可得，每降低1元房价，入住率就增加
。
因此，150间客房，最高房价200，1元入住率为0.005，可以如下公式：
由
，可知
。于是问题转化为求当时，总收入的最大值是多少？
4、模型求解
我们整理一下上面的方程。
然后利用一元函数微分，令
可得当
，即房价定为155元时，可获得最高收入18018.75元。此时，相应的入住率为77.5％。
二、入门示例2
1、问题描述
人口统计学家已经发现：每个城市的市中心人口密度最大，离市中心越远人口越稀少、密度越小。最为常见的人口密度模型为
（每平方千米人口数），其中
，
为大于0的常数，
是距市中心的距离。如何求某城市的总人口数？
根据相关数据：某城市市中心的人口密度为：
。
在距离市中心10km时的人口密度为：
。
该城市为半径30km的圆形区域。
2、问题分析
为了确定区间，设市中心位于坐标原点，于是
，从而人口密度函数为
。
3、模型求解
先确定人口密度中的常数a，c。
由
，；
，，可得
，
，
因此人口密度函数为：
从而该城市的总人口数就是人口密度函数的积分，其中积分区域D为
，
，即
