零碎的知识点（七）：线性二次调节器（LQR）是什么？

线性二次调节器（LQR）是什么？

- - [1. LQR的定义与目标](#1. LQR的定义与目标)
  - [2. LQR的原理](#2. LQR的原理)
  - - [性能指标 J J J](#性能指标 J J J)
    - 最优解的计算
    - 控制律
  - [3. LQR的性质](#3. LQR的性质)
  - [4. 举例说明](#4. 举例说明)
  - [5. 实际应用](#5. 实际应用)
  - 总结

线性二次调节器（LQR） 是一种经典的最优控制方法，用于求解线性系统的状态反馈控制问题。其目标是在满足动态约束的前提下，通过设计状态反馈控制器，使系统的性能指标达到最优。

1. LQR的定义与目标

LQR主要解决以下问题：

系统的状态描述为线性动态系统：
x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) \dot{x}(t) = A x(t) + B u(t) x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)

其中：
- x ( t ) ∈ R n x(t) \in \mathbb{R}^n x(t)∈Rn 是系统状态向量；
- u ( t ) ∈ R m u(t) \in \mathbb{R}^m u(t)∈Rm 是控制输入；
- A ∈ R n × n A \in \mathbb{R}^{n \times n} A∈Rn×n 是状态矩阵；
- B ∈ R n × m B \in \mathbb{R}^{n \times m} B∈Rn×m 是控制矩阵。
设计一个控制律 u ( t ) = − K x ( t ) u(t) = -K x(t) u(t)=−Kx(t)，其中 K K K 是控制增益矩阵，使以下性能指标 J J J 最小化：
J = ∫ 0 ∞ ( x ( t ) T Q x ( t ) + u ( t ) T R u ( t ) ) d t J = \int_{0}^{\infty} \left( x(t)^T Q x(t) + u(t)^T R u(t) \right) dt J=∫0∞(x(t)TQx(t)+u(t)TRu(t))dt

其中：
- Q ∈ R n × n Q \in \mathbb{R}^{n \times n} Q∈Rn×n 是对状态 x ( t ) x(t) x(t) 的加权矩阵（正定或半正定）；
- R ∈ R m × m R \in \mathbb{R}^{m \times m} R∈Rm×m 是对控制输入 u ( t ) u(t) u(t) 的加权矩阵（正定）。

2. LQR的原理

性能指标 J J J

性能指标 J J J 的物理意义是权衡系统偏离零状态（通过 x ( t ) T Q x ( t ) x(t)^T Q x(t) x(t)TQx(t)）和控制能量消耗（通过 u ( t ) T R u ( t ) u(t)^T R u(t) u(t)TRu(t)）的代价。设计 Q Q Q 和 R R R 时：

较大的 Q Q Q 强调减少状态偏离；
较大的 R R R 强调控制能量的节省。

最优解的计算

LQR 的核心是通过Riccati方程 计算最优状态反馈增益矩阵 K K K。具体步骤如下：

计算解 Riccati 方程的对称正定矩阵 P P P：
A T P + P A − P B R − 1 B T P + Q = 0 A^T P + P A - P B R^{-1} B^T P + Q = 0 ATP+PA−PBR−1BTP+Q=0
这是一个连续时间代数 Riccati 方程（CARE）。
利用 P P P 计算反馈增益矩阵：
K = R − 1 B T P K = R^{-1} B^T P K=R−1BTP

控制律

最优控制律为：
u ( t ) = − K x ( t ) u(t) = -K x(t) u(t)=−Kx(t)

3. LQR的性质

稳定性 ：如果 Q Q Q 和 R R R 正定，LQR 控制器设计的闭环系统是渐进稳定的。
鲁棒性：LQR 对模型的参数扰动具有一定的鲁棒性，但仅限于小扰动。
灵活性 ：通过调整 Q Q Q 和 R R R，可以改变状态和控制能量之间的权衡。

4. 举例说明

问题描述

一个简单的二阶质量-弹簧-阻尼系统：
m x ¨ + c x ˙ + k x = F m \ddot{x} + c \dot{x} + k x = F mx¨+cx˙+kx=F

将其转换为状态空间形式：
$x ˙ 1 x ˙ 2$ = $0 1 - k m - c m$ $x 1 x 2$ + $0 1 m$ u \begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{c}{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{bmatrix} u $x˙1x˙2$ = $0-mk1-mc$ $x1x2$ + $0m1$ u

其中：

x 1 = x x_1 = x x1=x 是位移；
x 2 = x ˙ x_2 = \dot{x} x2=x˙ 是速度；
u = F u = F u=F 是控制输入。

设参数为：

m = 1 m = 1 m=1 kg；
c = 0.5 c = 0.5 c=0.5 Ns/m；
k = 2 k = 2 k=2 N/m；
Q = diag ( 1 , 1 ) Q = \text{diag}(1, 1) Q=diag(1,1)；
R = 0.1 R = 0.1 R=0.1。

解步骤

确定状态矩阵 A A A 和控制矩阵 B B B：
A = $0 1 - 2 - 0.5$ , B = $0 1$ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -0.5 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} A= $0-21-0.5$ ,B= $01$
解 Riccati 方程，得到 P P P：
P = $2.236 1.118 1.118 2.618$ P = \begin{bmatrix} 2.236 & 1.118 \\ 1.118 & 2.618 \end{bmatrix} P= $2.2361.1181.1182.618$
计算最优增益矩阵 K K K：
K = R − 1 B T P = $4.472 3.618$ K = R^{-1} B^T P = \begin{bmatrix} 4.472 & 3.618 \end{bmatrix} K=R−1BTP= $4.4723.618$
最优控制律：
u ( t ) = − K x ( t ) = − $4.472 3.618$ $x 1 x 2$ u(t) = -K x(t) = - $4.472 \\; 3.618$ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} u(t)=−Kx(t)=− $4.4723.618$ $x1x2$

仿真结果

在闭环控制下，系统状态 x ( t ) x(t) x(t) 会快速趋于零，同时控制输入 u ( t ) u(t) u(t) 保持较小，体现了状态偏差和控制能量的优化。

5. 实际应用

航天器姿态控制 ：

LQR 用于最优设计航天器的姿态调节控制器，确保姿态调整时能量最低。
机器人控制 ：

在机器人路径跟踪中，LQR 用于控制机器人的位置和速度。
车辆动力学控制 ：

在自动驾驶系统中，LQR 常用于轨迹跟踪问题，设计车辆的方向和速度控制。

总结

LQR 是一种功能强大且理论完善的最优控制方法，通过解决 Riccati 方程和设计反馈增益矩阵，能够为线性系统提供稳定且高效的控制策略。它的应用遍及多个工程领域，是现代控制理论的重要组成部分。