一、复向量的长度
本节的主要内容可概括为：当对一个复向量 z\pmb zz 或复矩阵 A\pmb AA 转置后，还要取复共轭。 不能在 zTz^TzT 或 ATA^TAT 时就停下来，还要对所有的虚部取相反的符号。对于一个分量为 zj=aj+ibjz_j=a_j+ib_jzj=aj+ibj 的列向量，其共轭转置（conjugate transpose）是分量为 aj−ibja_j-ib_jaj−ibj 的行向量 z‾T\overline z^TzT：共轭转置 Conjugate transposez‾T=[z‾1z‾2⋯z‾n]=[a1−ib1a2−ib2⋯an−ibn](9.2.1)\pmb{共轭转置\,\textrm{Conjugate transpose}}\kern 15pt\pmb{\overline z^T}=\begin{bmatrix}\overline z_1&\overline z_2&\cdots&\overline z_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1-ib_1&a_2-ib_2&\cdots&a_n-ib_n\end{bmatrix}\kern 15pt(9.2.1)共轭转置Conjugate transposezT=[z1z2⋯zn]=[a1−ib1a2−ib2⋯an−ibn](9.2.1)下面给出取共轭的一个原因。实向量长度的平方是 x12+x22+⋯+xn2x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2x12+x22+⋯+xn2，而复向量长度的平方并不是 z12+z22+⋯+zn2z_1^2+z_2^2+\cdots+z_n^2z12+z22+⋯+zn2，这是一个错误的定义，因为这样会导致 (1,i)(1,i)(1,i) 长度的平方是 12+i2=01^2+i^2=012+i2=0，即一个非零的向量其长度为零。而且还会有其它向量出现长度为复数的情况。我们需要绝对值的平方 a2+b2a^2+b^2a2+b2 而不是 (a+bi)2(a+bi)^2(a+bi)2，这个就是 (a+bi)(a+bi)(a+bi) 乘 (a−bi)(a-bi)(a−bi).
对于每个分量我们都想要 zjz_jzj 乘 z‾j\overline z_jzj，即 ∣zj∣2=aj2+bj2|z_j|^2=a_j^2+b_j^2∣zj∣2=aj2+bj2. 这是由 zzz 的分量乘 z‾\overline zz 的分量得到的：长度平方[z‾1z‾2⋯z‾n][z1z2⋮zn]=∣z1∣2+∣z2∣2+⋯+∣zn∣2.即是z‾Tz=∣∣z∣∣2(9.2.2)\pmb{长度平方}\kern 10pt\begin{bmatrix}\overline z_1&\overline z_2&\cdots&\overline z_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\\vdots\\z_n\end{bmatrix}=|z_1|^2+|z_2|^2+\cdots+|z_n|^2.\kern 5pt\pmb{即是\kern 5pt\overline z^Tz=||z||^2}\kern 15pt(9.2.2)长度平方[z1z2⋯zn] z1z2⋮zn =∣z1∣2+∣z2∣2+⋯+∣zn∣2.即是zTz=∣∣z∣∣2(9.2.2)这样 (1,i)(1,i)(1,i) 长度的平方就是 12+∣i∣2=21^2+|i|^2=212+∣i∣2=2，其长度为 2\sqrt22 ，(1+i,1−i)(1+i,1-i)(1+i,1−i) 长度的平方是 444. 唯一的零长度向量就是零向量。
长度 ∣∣z∣∣ 是z‾Tz=zHz=∣z1∣2+∣z2∣2+⋯+∣zn∣2的平方根\pmb{长度\,||z||\,是}\kern 5pt{\color{blue}\pmb{\overline z^Tz=z^Hz}=|z_1|^2+|z_2|^2+\cdots+|z_n|^2}\kern 5pt\pmb{的平方根}长度∣∣z∣∣是zTz=zHz=∣z1∣2+∣z2∣2+⋯+∣zn∣2的平方根
后面我们会用一个符号来代替两个符号：我们只使用一个上标 H\textrm HH 来代表共轭的横线和转置的上标 T\textrm TT，即 z‾T=zH\pmb{\overline z^T=z^H}zT=zH. 这就是 "zzz 的共轭转置"，称为 "z Hermitianz\,\,\textrm{Hermitian}zHermitian". 这个符号也可以用在矩阵上：矩阵 AAA 的共轭转置就是 AHA^HAH.
另外一个表示共轭转置的常见符号是 A∗A^*A∗. MATLAB 中的命令 ′'′ 会自动取复共轭（z′z'z′ 就是 zH=z‾Tz^H=\overline z^TzH=zT，而 A′A'A′ 是 AH=A‾HA^H=\overline A^HAH=AH）.AH 是 "A 的共轭转置".如果 A=[1i01+i]，则 AH=[10−i1−i]\pmb{A^H\,是\,"A\,的共轭转置".}\kern 5pt如果\,A=\begin{bmatrix}1&i\\0&1+i\end{bmatrix}，则\,A^H=\begin{bmatrix}1&0\\-i&1-i\end{bmatrix}AH是"A的共轭转置".如果A=[10i1+i]，则AH=[1−i01−i]
二、复内积
对于实向量，其长度的平方是 xTx\boldsymbol x^T\boldsymbol xxTx，即 x\boldsymbol xx 和它自己的内积。对于复向量，其长度的平方是 zHz\boldsymbol z^H\boldsymbol zzHz，如果 zHz\boldsymbol z^H\boldsymbol zzHz 也是 z\boldsymbol zz 和它自己的内积，则这个就与实向量的情形一致。因此，复内积（complex inner product）是取共轭转置（不仅仅是转置），而共轭对实向量没有影响。
定义 \kern 10pt 实向量或复向量 u\boldsymbol uu 和 v\boldsymbol vv 的内积是 uHv\boldsymbol u^H\boldsymbol vuHv：uHv=[u‾1u‾2⋯u‾n][v1v2⋮vn]=u‾1v1+u‾2v2+⋯+u‾nvn(9.2.3){\color{blue}\boldsymbol u^H\boldsymbol v}=\begin{bmatrix}\overline u_1&\overline u_2&\cdots&\overline u_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{bmatrix}={\color{blue}\overline u_1v_1+\overline u_2v_2+\cdots+\overline u_nv_n}\kern 20pt(9.2.3)uHv=[u1u2⋯un] v1v2⋮vn =u1v1+u2v2+⋯+unvn(9.2.3)
对于复向量，uHv\boldsymbol u^H\boldsymbol vuHv 和 vHu\boldsymbol v^H\boldsymbol uvHu 并不相等，此时向量的顺序就变得很重要了。实际上 vHu=v‾1u1+v‾2u2+⋯+v‾nun\boldsymbol v^H\boldsymbol u=\overline v_1u_1+\overline v_2u_2+\cdots+\overline v_nu_nvHu=v1u1+v2u2+⋯+vnun，它是 uHv\boldsymbol u^H\boldsymbol vuHv 的复共轭。为了使得其同时适用于实向量和复向量，我们不得不容忍这一点不便。
【例1 】u=[1i]\boldsymbol u=\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}u=[1i] 和 v=[i1]\boldsymbol v=\begin{bmatrix}i\\1\end{bmatrix}v=[i1] 的内积是 [1−i][i1]=0\begin{bmatrix}1&-i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i\\1\end{bmatrix}=0[1−i][i1]=0.
例 1 给出了一个令人惊讶的结果，向量 (1,i)(1,i)(1,i) 和 (i,1)(i,1)(i,1) 看起来并不垂直，但实际上确垂直。内积为零仍然表明（复）向量正交 。类似的，向量 (1,i)(1,i)(1,i) 和 (1,−i)(1,-i)(1,−i) 也是正交的，它们的内积是 1−1=01-1=01−1=0，这样我们得到了正确的内积零，如果我们忘记取共轭，就会得到 (1,i)(1,i)(1,i) 的长度为零这样错误的结果。
注： 计算复内积时，这里我们对第一个向量 u\boldsymbol uu 取了共轭，而有些地方会对第二个向量 v\boldsymbol vv 取共轭，则复内积就是 uTv‾\boldsymbol u^T\boldsymbol {\overline v}uTv. 这两种选择都可以。
AuA\boldsymbol uAu 和 v\boldsymbol vv 的内积等于 u\boldsymbol uu 和 AHvA^H\boldsymbol vAHv 的内积： AH也称为A 的 "伴随矩阵"(Au)Hv=uH(AHv)(9.2.4)\pmb{A^H\kern 2pt也称为\kern 2ptA\,的 \,"伴随矩阵"}\kern 15pt{\color{blue}(A\boldsymbol u)^H\boldsymbol v=\boldsymbol u^H(A^H\boldsymbol v)}\kern 20pt(9.2.4)AH也称为A的"伴随矩阵"(Au)Hv=uH(AHv)(9.2.4)AuA\boldsymbol uAu 的共轭是 Au‾\overline {A\boldsymbol u}Au，再对 Au‾\overline{A\boldsymbol u}Au 取转置得到 u‾TA‾T\overline{\boldsymbol u}^T\overline A^TuTAT，这个就是 uHAH\boldsymbol u^HA^HuHAH. 这些运算都是相容的，共轭转置的运算继承自转置的运算法则。
还有一个事实，(a−ib)(c−id)(a-ib)(c-id)(a−ib)(c−id) 是 (a+ib)(c+ib)(a+ib)(c+ib)(a+ib)(c+ib) 的共轭。
AB的共轭转置是(AB)H=BHAH\pmb{AB\kern 3pt的共轭转置是\kern 10pt{\color{blue}(AB)^H=B^HA^H}}AB的共轭转置是(AB)H=BHAH
三、埃尔米特矩阵 S=SHS=S^HS=SH
在实矩阵中，对称矩阵 S=STS=S^TS=ST 是最重要的特殊类：它们有实特征值和正交的特征向量，这些特征向量可以构成正交矩阵 QQQ. 每个实对称矩阵都可以写成 S=QΛQ−1S=Q\Lambda Q^{-1}S=QΛQ−1 或 S=QΛQTS=Q\Lambda Q^TS=QΛQT（因为 Q−1=QTQ^{-1}=Q^TQ−1=QT）. 所有这些结论都是因为 SSS 是实对称矩阵 ST=SS^T=SST=S.
而在复矩阵中，这个特殊类是埃尔米特矩阵（Hermitian matrices） ：S=SHS=S^HS=SH，对于其中的元素就是 sij=sji‾s_{ij}=\overline{s_{ji}}sij=sji. 这种情况下我们称 "SSS 是艾尔米特矩阵"。 任意的实对称矩阵都是艾尔米特矩阵，这是因为取共轭对于实数没有影响。下例的矩阵就是一个艾尔米特矩阵：S=SHS=S^HS=SH：
【例2 】矩阵 S=[23−3i3+3i5]S=\begin{bmatrix}2&3-3i\\3+3i&5\end{bmatrix}S=[23+3i3−3i5] 是艾尔米特矩阵。由于 sii=sii‾s_{ii}=\overline{s_{ii}}sii=sii，所以埃尔米特矩阵的主对角线元素一定要是实数；关于对角线对称的元素是共轭的，本例中的是 3+3i3+3i3+3i 和 3−3i3-3i3−3i. 本例会展示艾尔米特矩阵的三个关键性质：
如果 S=SH\pmb{S=S^H}S=SH 且 z\pmb zz 是任意实或复列向量，则 zHSz\pmb{z^HSz}zHSz 为实数。
简洁证明：zHSz\boldsymbol z^HS\boldsymbol zzHSz 是 1×11\times11×1 的矩阵，取它的共轭转置：(zHSz)H=zHSH(zH)H=zHSz(\boldsymbol z^HS\boldsymbol z)^H=\boldsymbol z^HS^H(\boldsymbol z^H)^H=\boldsymbol z^HS\boldsymbol z(zHSz)H=zHSH(zH)H=zHSz数值 zHSz\boldsymbol z^HS\boldsymbol zzHSz 等于它的共轭，所以一定是实数。
下面是上述 "能量（energy）" zHSz\boldsymbol z^HS\boldsymbol zzHSz：[z‾1z‾2][23−3i3+3i5][z1z2]=2z‾1z1+5z‾2z2+(3−3i)z‾1z2+(3+3i)z1z‾2对角元素非对角元素\begin{bmatrix}\overline z_1&\overline{z}_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&3-3i\\3+3i&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}z_1\\z_2\end{bmatrix}\begin{array}{l}=2\overline z_1z_1+5\overline z_2z_2+(3-3i)\overline z_1z_2+(3+3i)z_1\overline z_2\\\kern 22pt对角元素\kern 57pt非对角元素\end{array}[z1z2][23+3i3−3i5][z1z2]=2z1z1+5z2z2+(3−3i)z1z2+(3+3i)z1z2对角元素非对角元素上式中 2∣z1∣22|z_1|^22∣z1∣2 和 5∣z2∣25|z_2|^25∣z2∣2 这两项对应对角元素。非对角元素对应的项互为共轭 ------ 所以它们的和是实数。（当它们相加时，虚部抵消掉了。）整个表达式 zHSz\boldsymbol z^HS\boldsymbol zzHSz 是实数，而这可以推出特征值 λ\lambdaλ 是实数。
埃尔米特矩阵的每一个特征值都是实数。
证明： 假设 Sz=λzS\boldsymbol z=\lambda\boldsymbol zSz=λz，两边同时左乘 zH\boldsymbol z^HzH 得 zHSz=λzHz\boldsymbol z^HS\boldsymbol z=\lambda \boldsymbol z^H\boldsymbol zzHSz=λzHz. 由前面的结论，左边 zHSz\boldsymbol z^HS\boldsymbol zzHSz 是实数；右边 zHz\boldsymbol z^H\boldsymbol zzHz 是长度的平方，它是正实数。所以比值 λ=zHSzzHz\lambda=\dfrac{\boldsymbol z^HS\boldsymbol z}{\boldsymbol z^H\boldsymbol z}λ=zHzzHSz 是一个实数。
由于 S=SHS=S^HS=SH，可以得到例 2 的特征值是 λ=8\lambda=8λ=8 和 λ=−1\lambda =-1λ=−1：∣2−λ3−3i3+3i5−λ∣=λ2−7λ+10−∣3+3i∣2=λ2−7λ+10−18=(λ−8)(λ+1)\begin{vmatrix}2-\lambda&3-3i\\3+3i&5-\lambda\end{vmatrix}=\lambda^2-7\lambda+10-|3+3i|^2=\lambda^2-7\lambda+10-18=(\lambda-8)(\lambda+1) 2−λ3+3i3−3i5−λ =λ2−7λ+10−∣3+3i∣2=λ2−7λ+10−18=(λ−8)(λ+1)
埃尔米特矩阵的特征向量是正交的 （当它们对应不同的特征值）。
如果 Sz=λz 且 Sy=βy，则 yHz=0\color{blue}如果\,S\boldsymbol z=\lambda \boldsymbol z\,且\,S\boldsymbol y=\beta\boldsymbol y，则\,\boldsymbol y^H\boldsymbol z=0如果Sz=λz且Sy=βy，则yHz=0
证明： Sz=λzS\boldsymbol z=\lambda\boldsymbol zSz=λz 两边同时左乘 yH\boldsymbol y^HyH；Sy=βyS\boldsymbol y=\beta\boldsymbol ySy=βy 两边同时取共轭转置，且两边右乘 z\boldsymbol zz，得到：yHSz=λyHz，yHSHz=βyHz(9.2.5)\boldsymbol y^HS\boldsymbol z=\lambda\boldsymbol y^H\boldsymbol z，\kern 10pt\boldsymbol y^HS^H\boldsymbol z=\beta\boldsymbol y^H\boldsymbol z\kern 20pt(9.2.5)yHSz=λyHz，yHSHz=βyHz(9.2.5)由于 S=SHS=S^HS=SH，所以上面两式左边相等，则 λyHz=βyHz\lambda\boldsymbol y^H\boldsymbol z=\beta\boldsymbol y^H\boldsymbol zλyHz=βyHz，故 yHz\boldsymbol y^H\boldsymbol zyHz 一定为零 。
例 222 中特征值 λ=8\lambda=8λ=8 和 β=−1\beta=-1β=−1 对应的特征向量正交：(S−8I)z=[−63−3i3+3i−3][z1z2]=[00]得z=[11+i](S+I)y=[33−3i3+3i6][y1y2]=[00]得y=[1−i−1]\begin{array}{r}(S-8I)\boldsymbol z=\begin{bmatrix}-6&3-3i\\3+3i&-3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}z_1\\z_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}&得&\boldsymbol z=\begin{bmatrix}1\\1+i\end{bmatrix}\\[3ex](S+I)\boldsymbol y=\begin{bmatrix}3&3-3i\\3+3i&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}&得&\boldsymbol y=\begin{bmatrix}1-i\\-1\end{bmatrix}\end{array}(S−8I)z=[−63+3i3−3i−3][z1z2]=[00](S+I)y=[33+3i3−3i6][y1y2]=[00]得得z=[11+i]y=[1−i−1]正交特征向量 Orthogonal eigenvectorsyHz=[1+i−1][11+i]=0\pmb{正交特征向量\,\textrm{Orthogonal eigenvectors}}\kern 20pt\boldsymbol y^H\boldsymbol z=\begin{bmatrix}1+i&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1+i\end{bmatrix}=0正交特征向量Orthogonal eigenvectorsyHz=[1+i−1][11+i]=0这些特征向量长度的平方是 12+12+12=31^2+1^2+1^2=312+12+12=3，除以 3\sqrt33 得到单位向量，这样它们现在就是标准正交向量 。以这些向量为列向量的特征向量矩阵 XXX，可以对角化 SSS.
当 SSS 是实对称矩阵时，XXX 是 QQQ，它是正交矩阵。现在 SSS 是复矩阵且为埃尔米特矩阵，它的特征向量可以取复的标准正交向量。特征向量矩阵 X\pmb XX 就像 Q\pmb QQ，但它是复矩阵，且有：QHQ=I\pmb{Q^HQ=I}QHQ=I. 我们给 QQQ 去一个新的名字 "酉矩阵（unitary）"，但是仍记为 QQQ.
四、酉矩阵
酉矩阵（unitary matrix） Q\pmb QQ 是具有标准正交列的 （复）方阵。酉矩阵对角化上述矩阵 S：Q=13[11−i1+i−1]\pmb{酉矩阵对角化上述矩阵\,S：}\kern 15ptQ=\dfrac{1}{\sqrt3}\begin{bmatrix}1&1-i\\1+i&-1\end{bmatrix}酉矩阵对角化上述矩阵S：Q=3 1[11+i1−i−1]这个 QQQ 也是一个埃尔米特矩阵，这个有些出人意料！这个例子太完美了，一般情况下这是不成立的。还可以确定的是这个 QQQ 的特征值一定是 111 和 −1-1−1.
对于实矩阵要检验是不是标准正交列的条件是 QTQ=IQ^TQ=IQTQ=I，非对角元素的内积为零。而对于复矩阵的情况，QTQ^TQT 变成了 QHQ^HQH，当 QHQ^HQH 左乘 QQQ 时，我们就可以看出其列向量是不是标准正交的。任意两个列向量的内积都对应着 QHQ=I\pmb{Q^HQ=I}QHQ=I：
每个具有标准正交列的矩阵 Q\pmb QQ 都有 QHQ=I\pmb{Q^HQ=I}QHQ=I.
如果 Q\pmb QQ 还是方阵，则它是一个酉矩阵，则有 QH=Q−1\color{blue}\pmb{Q^H=Q^{-1}}QH=Q−1.
如果 QQQ（具有标准正交列）左乘任意向量 z\boldsymbol zz，那么向量的长度保持不变，这是因为 zHQHQz=zHz\boldsymbol z^HQ^HQ\boldsymbol z=\boldsymbol z^H\boldsymbol zzHQHQz=zHz. 如果 z\boldsymbol zz 是 QQQ 的特征向量，那么我们还能够得到更多信息：酉矩阵（和正交矩阵）QQQ 的特征值的绝对值都满足 ∣λ∣=1|\lambda|=1∣λ∣=1.
如果 QQQ 是酉矩阵则 ∣∣Qz∣∣=∣∣z∣∣\color{blue}||Q\boldsymbol z||=||\boldsymbol z||∣∣Qz∣∣=∣∣z∣∣，因此 Qz=λzQ\boldsymbol z=\lambda \boldsymbol zQz=λz 可以推出 ∣λ∣=1\color{blue}|\lambda|=1∣λ∣=1.
上面的 2×22\times22×2 的矩阵既是埃尔米特矩阵（Q=QHQ=Q^HQ=QH）又是酉矩阵（Q−1=QHQ^{-1}=Q^HQ−1=QH）. 这意味着它的特征值是实数且 ∣λ∣=1|\lambda|=1∣λ∣=1，而实数中满足 ∣λ∣=1|\lambda|=1∣λ∣=1 的只有两种可能，所以特征值是 111 或 −1-1−1，再根据 QQQ 的迹为零可以推出 λ=1\lambda=1λ=1 和 λ=−1\lambda=-1λ=−1.
【例3 】Figure 9.3 中是 3×33\times33×3 的傅里叶矩阵 ，它是埃尔米特矩阵吗？它是酉矩阵吗？F3F_3F3 肯定是对称矩阵，因为它等于它的转置。但是却不等于它自身的共轭转置，所以它不是埃尔米特矩阵。如果将 iii 改成 −i-i−i，会得到一个不同的矩阵。
FFF 是酉矩阵？答案是是的。每一个列向量长度的平方都是 13(1+1+1)\dfrac{1}{3}(1+1+1)31(1+1+1)，所以它们都是单位向量。而 1+e2πi/3+e4πi/3=01+e^{2\pi i/3}+e^{4πi/3}=01+e2πi/3+e4πi/3=0，所以第一个列向量与第二个列向量正交，这就是 Figure 9.3 中所标注的三个数之和。
注意图中的对称性，如果将其旋转 120°120°120°，这三个点与原先的三个点是重合的，因此它们的和 SSS 也不变，即 S=0S=0S=0.
FFF 的列 222 与列 333 正交吗？它们的点积看起来是13(1+e6πi/3+e6πi/3)=13(1+1+1)\dfrac{1}{3}(1+e^{6πi/3}+e^{6πi/3})=\dfrac{1}{3}(1+1+1)31(1+e6πi/3+e6πi/3)=31(1+1+1)这个并不是零。但是这个答案是错误的，因为计算时没有取复共轭。复内积使用的是共轭转置 H\textrm HH 而不仅仅是转置 T\textrm TT：(column 2)H(column 3)=13(1⋅1+e−2πi/3e4πi/3+e−4πi/3e2πi/3)=13(1+e2πi/3+e−2πi/3)=0(\textrm{column\,2})^H(\textrm{column\,3})=\dfrac{1}{3}(1\cdot1+e^{-2πi/3}e^{4πi/3}+e^{-4πi/3}e^{2πi/3})=\dfrac{1}{3}(1+e^{2\pi i/3}+e^{-2πi/3})=0(column2)H(column3)=31(1⋅1+e−2πi/3e4πi/3+e−4πi/3e2πi/3)=31(1+e2πi/3+e−2πi/3)=0因此，我们验证了正交性。结论：FFF 是一个酉矩阵。
n×nn\times nn×n 的傅里叶矩阵也是酉矩阵，而所有的酉矩阵中，它们是最重要的矩阵。如果用矩阵 FFF 左乘一个向量，我们就是在计算它的离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform） ；如果用矩阵 F−1F^{-1}F−1 左乘一个向量，就是在求其逆变换。酉矩阵的特殊性质是 F−1=FHF^{-1}=F^HF−1=FH，逆变换的不同之处就是仅仅将 iii 变为 −i-i−i：将 i 变为 −iF−1=FH=13[1111e−2πi/3e−4πi/31e−4πi/3e−2πi/3]\pmb{将\,i\,变为\,-i}\kern 20ptF^{-1}=F^H=\frac{1}{\sqrt3}\begin{bmatrix}1&1&1\\1&e^{-2πi/3}&e^{-4πi/3}\\1&e^{-4πi/3}&e^{-2πi/3}\end{bmatrix}将i变为−iF−1=FH=3 1 1111e−2πi/3e−4πi/31e−4πi/3e−2πi/3 所有使用傅里叶矩阵 FFF 的人都会认识到其价值。快速傅里叶变换 FFT 中融合了傅里叶分析、复数和线性代数。