数据结构——堆(介绍,堆的基本操作、堆排序)

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堆的介绍

堆是一种特殊的树形数据结构,通常以完全二叉树的形式表示,并且满足堆属性。根据堆属性的不同,堆可以分为两种类型:

  • 最大堆(Max Heap):对于每个节点,它的值都大于或等于其子节点的值。因此,堆顶元素(根节点)总是最大的。
  • 最小堆(Min Heap):对于每个节点,它的值都小于或等于其子节点的值。因此,堆顶元素(根节点)总是最小的。

堆存储

  • (二叉)堆可以用完全二叉树的形式进行存储。
  • 树中任意节点 i,其左子节点序号为 2*i,右子节点序号为 2*i+1

堆操作

堆插入

  1. 将要插入的元素放到最后
  2. 从底向上,如果父结点比该元素小,则该节点和父结点交换,直到无法交换

删除堆顶

删除对顶元素是最大堆(最小堆)的最大值(最小值),为了保持堆的性质,需要对堆的结构进行调整,我们将这个过程称之为"堆化",有两种方法:

  1. 自底向上的堆化
  2. 自顶向下堆化
自底向上堆化

大顶堆为例:

  1. 先删除堆顶元素(即数组中index = 1的位置)
  2. 比较根结点的左子节点和右子节点(index = 2和3),较大的元素放到根节点
  3. 此时又有空位,和步骤2一样,空位两个子节点较大的移动到空位,直到最底部
自顶向下堆化
  1. 我们将最后一个元素移动到堆顶。
  2. 不停与左右子节点的值进行比较,和较大的子节点交换位置,直到无法交换位置。

堆排序

堆排序分为两个步骤:

  1. 建堆
  2. 排序

1. 建堆

建堆需要对所有非叶节点的自顶向下堆化。

顺序是从index=n/2index=1依次进行堆化

引用JavaGuide的图:

  1. 一开始没排序前的数组(n = 6, 所以要从索引为 3 到 1 的顺序进行堆化):
  1. index=3的节点进行堆化:
  1. index=2的节点进行堆化
  1. 对index=1的节点进行堆化,堆化完成

2. 排序

我们在第一步已经建堆完毕,故堆顶元素就是最大值。所以我们重复取出堆顶元素,将这个最大的堆顶元素放至数组末尾,并对剩下的元素进行堆化即可。

  1. 取出堆顶元素并且堆化
  1. 一次取出堆顶并且优化

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