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Python 梯度下降法（六）：Nadam Optimize
一、数学原理
1.1 介绍
Nadam（Nesterov-accelerated Adaptive Moment Estimation）优化算法是 Adam 优化算法的改进版本，结合了 Nesterov 动量（Nesterov Momentum）和 Adam 算法的优点。
Nadam 在 Adam 算法的基础上引入了 Nesterov 动量的思想。Adam 算法通过计算梯度的一阶矩估计（均值）和二阶矩估计（未中心化的方差）来自适应地调整每个参数的学习率。而 Nesterov 动量则是在计算梯度时，考虑了参数在动量作用下未来可能到达的位置的梯度，从而让优化过程更具前瞻性。
1.2 符号定义
设置一下超参数：
| 参数 | 说明 |
|---|---|
| η \eta η | 学习率，控制参数更新的步长 |
| m m m | 一阶矩估计，梯度均值 |
| β 1 \beta_{1} β1 | 一阶矩指数衰减率，通常取 0.9 0.9 0.9 |
| v v v | 二阶矩估计，梯度未中心化方差 |
| β 2 \beta_{2} β2 | 二阶矩指数衰减率，通常取 0.999 0.999 0.999 |
| ϵ \epsilon ϵ | 无穷小量，用于避免分母为零， 1 0 − 8 10^{-8} 10−8 |
| g t g_{t} gt | 在 t t t时刻位置的梯度 |
| θ \theta θ | 需要进行拟合的参数 |
1.3 实现流程
- 初始化参数： θ n × 1 \theta_{n\times 1} θn×1、 m 0 ⃗ n × 1 = 0 \vec{m_{0}}{n\times 1}=0 m0 n×1=0、 v 0 ⃗ n × 1 = 0 \vec{v{0}}_{n\times 1}=0 v0 n×1=0
- 更新一阶矩估计 m t m_{t} mt： m t = β 1 m t − 1 + ( 1 − β 1 ) g t m_{t}=\beta_{1}m_{t-1}+(1-\beta_{1})g_{t} mt=β1mt−1+(1−β1)gt
- 更新二阶矩估计 v t v_{t} vt： v t = β 2 v t − 1 + ( 1 − β 2 ) g t 2 v_{t}=\beta_{2}v_{t-1}+(1-\beta_{2})g_{t}^{2} vt=β2vt−1+(1−β2)gt2
- 偏差修正：由于 m 0 , v 0 = 0 m_{0},v_{0}=0 m0,v0=0，在训练初期会存在偏差，需要进行修正： m ^ t = m t 1 − β 1 t , v ^ t = v t 1 − β 2 t \hat{m}{t}=\frac{m{t}}{1-\beta_{1}^{t}},\hat{v}{t}=\frac{v{t}}{1-\beta_{2}^{t}} m^t=1−β1tmt,v^t=1−β2tvt
- 计算预估一阶矩： m ~ t = β 1 m ^ t + ( 1 − β 1 ) g t 1 − β 1 t \widetilde{m}{t}=\beta{1}\hat{m}{t}+\frac{(1-\beta{1})g_{t}}{1-\beta_{1}^{t}} m t=β1m^t+1−β1t(1−β1)gt
- 更新模型参数 θ t \theta_{t} θt： θ t = θ t − 1 − η v t ^ + ϵ ⊙ m ~ t \theta_{t}=\theta_{t-1}-\frac{\eta}{\sqrt{ \hat{v_{t}} }+\epsilon}\odot\widetilde{m}_{t} θt=θt−1−vt^ +ϵη⊙m t
二、代码实现
2.1 函数代码
python
# 定义 Nadam 函数
def nadam_optimizer(X, y, eta, num_iter=1000, beta1=0.9, beta2=0.999, epsilon=1e-8, threshold=1e-8):
"""
X: 数据 x mxn，可以在传入数据之前进行数据的归一化
y: 数据 y mx1
eta: 学习率
num_iter: 迭代次数
beta: 衰减率
epsilon: 无穷小
threshold: 阈值
"""
m, n = X.shape
theta, mt, vt = np.random.randn(n, 1), np.zeros((n, 1)), np.zeros((n, 1)) # 初始化数据
loss_ = []
for t in range(1, num_iter + 1):
# 计算梯度
h = X.dot(theta)
err = h - y
loss_.append(np.mean(err ** 2) / 2)
g = (1 / m) * X.T.dot(err)
# 一阶矩估计
mt = beta1 * mt + (1 - beta1) * g
# 二阶矩估计
vt = beta2 * vt + (1 - beta2) * g ** 2
# 先计算偏差修正，后面需要使用到，并且去除负数
m_hat, v_hat = mt / (1 - pow(beta1, t)), np.maximum(vt / (1 - pow(beta2, t)), 0)
# 计算预估一阶矩
m_pre = beta1 * m_hat + (1 - beta1) * g / (1 - pow(beta1, t))
# 更新参数
theta = theta - np.multiply((eta / (np.sqrt(v_hat) + epsilon)), m_pre)
# 检查是否收敛
if t > 1 and abs(loss_[-1] - loss_[-2]) < threshold:
print(f"Converged at iteration {t}")
break
return theta.flatten(), loss_2.2 总代码
python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 设置 matplotlib 支持中文
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
# 定义 Nadam 函数
def nadam_optimizer(X, y, eta, num_iter=1000, beta1=0.9, beta2=0.999, epsilon=1e-8, threshold=1e-8):
"""
X: 数据 x mxn，可以在传入数据之前进行数据的归一化
y: 数据 y mx1
eta: 学习率
num_iter: 迭代次数
beta: 衰减率
epsilon: 无穷小
threshold: 阈值
"""
m, n = X.shape
theta, mt, vt = np.random.randn(n, 1), np.zeros((n, 1)), np.zeros((n, 1)) # 初始化数据
loss_ = []
for t in range(1, num_iter + 1):
# 计算梯度
h = X.dot(theta)
err = h - y
loss_.append(np.mean(err ** 2) / 2)
g = (1 / m) * X.T.dot(err)
# 一阶矩估计
mt = beta1 * mt + (1 - beta1) * g
# 二阶矩估计
vt = beta2 * vt + (1 - beta2) * g ** 2
# 先计算偏差修正，后面需要使用到，并且去除负数
m_hat, v_hat = mt / (1 - pow(beta1, t)), np.maximum(vt / (1 - pow(beta2, t)), 0)
# 计算预估一阶矩
m_pre = beta1 * m_hat + (1 - beta1) * g / (1 - pow(beta1, t))
# 更新参数
theta = theta - np.multiply((eta / (np.sqrt(v_hat) + epsilon)), m_pre)
# 检查是否收敛
if t > 1 and abs(loss_[-1] - loss_[-2]) < threshold:
print(f"Converged at iteration {t}")
break
return theta.flatten(), loss_
# 生成一些示例数据
np.random.seed(42)
X = 2 * np.random.rand(100, 1)
y = 4 + 3 * X + np.random.randn(100, 1)
# 添加偏置项
X_b = np.c_[np.ones((100, 1)), X]
# 超参数
eta = 0.1
# 运行 Nadam 优化器
theta, loss_ = nadam_optimizer(X_b, y, eta)
print("最优参数 theta:")
print(theta)
# 绘制损失函数图像
plt.plot(range(len(loss_)), loss_, label="损失函数图像")
plt.title("损失函数图像")
plt.xlabel("迭代次数")
plt.ylabel("损失值")
plt.legend() # 显示图例
plt.grid(True) # 显示网格线
plt.show()
三、优缺点
3.1 优点
自适应学习率：NAdam 继承了 Adam 的自适应学习率特性，能够根据梯度的一阶矩（均值）和二阶矩（方差）动态调整每个参数的学习率。这使得 NAdam 在处理不同尺度的参数时更加高效，尤其适合稀疏梯度问题。
Nesterov 动量：NAdam 引入了 Nesterov 动量，能够在更新参数时先根据当前动量预测参数的未来位置，再计算梯度。这种"前瞻性"的更新方式使得 NAdam 能够更准确地调整参数，从而加速收敛。
快速收敛：由于结合了 Adam 的自适应学习率和 Nesterov 动量的前瞻性更新，NAdam 在大多数优化问题中能够比 Adam 和传统梯度下降法更快地收敛。特别是在非凸优化问题中，NAdam 的表现通常优于其他优化算法。
鲁棒性：NAdam 对超参数的选择相对鲁棒，尤其是在学习率和动量参数的选择上。这使得 NAdam 在实际应用中更容易调参。
适合大规模数据：NAdam 能够高效处理大规模数据集和高维参数空间，适合深度学习中的大规模优化问题。
3.2 缺点
计算复杂度较高：由于 NAdam 需要同时维护一阶矩和二阶矩估计，并计算 Nesterov 动量，其计算复杂度略高于传统的梯度下降法。虽然现代深度学习框架（如 PyTorch、TensorFlow）已经对 NAdam 进行了高效实现，但在某些资源受限的场景下，计算开销仍然是一个问题。
对初始学习率敏感：尽管 NAdam 对超参数的选择相对鲁棒，但初始学习率的选择仍然对性能有较大影响。如果初始学习率设置不当，可能会导致收敛速度变慢或无法收敛。
可能陷入局部最优：在某些复杂的非凸优化问题中，NAdam 可能会陷入局部最优解，尤其是在损失函数存在大量鞍点或平坦区域时。
内存占用较高：NAdam 需要存储一阶矩和二阶矩估计，这会增加内存占用。对于非常大的模型（如 GPT-3 等），内存占用可能成为一个瓶颈。
理论分析较少：相比于 Adam 和传统的梯度下降法，NAdam 的理论分析相对较少。虽然实验结果表明 NAdam 在大多数任务中表现优异，但其理论性质仍需进一步研究。
四、相关链接
Python 梯度下降法合集：