蓝桥杯更小的数（区间DP）

题目描述

小蓝有一个长度均为 n 且仅由数字字符 0 ∼ 9 组成的字符串，下标从 0 到 n − 1，你可以将其视作是一个具有 n 位的十进制数字 num，小蓝可以从 num 中选出一段连续的子串并将子串进行反转，最多反转一次。小蓝想要将选出的子串进行反转后再放入原位置处得到的新的数字 numnew 满足条件 numnew < num，请你帮他计算下一共有多少种不同的子串选择方案，只要两个子串在 num 中的位置不完全相同我们就视作是不同的方案。注意，我们允许前导零的存在，即数字的最高位可以是 0 ，这是合法的

输入格式 ：输入一行包含一个长度为 n 的字符串表示 num（仅包含数字字符 0 ∼ 9），从左至右下标依次为 0 ∼ n − 1。

输出格式：输出一行包含一个整数表示答案。

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输入：210102
输出：8

提示

一共有 8 种不同的方案：

1）所选择的子串下标为 0 ∼ 1 ，反转后的 numnew = 120102 < 210102 ；

2）所选择的子串下标为 0 ∼ 2 ，反转后的 numnew = 012102 < 210102 ；

3）所选择的子串下标为 0 ∼ 3 ，反转后的 numnew = 101202 < 210102 ；

4）所选择的子串下标为 0 ∼ 4 ，反转后的 numnew = 010122 < 210102 ；

5）所选择的子串下标为 0 ∼ 5 ，反转后的 numnew = 201012 < 210102 ；

6）所选择的子串下标为 1 ∼ 2 ，反转后的 numnew = 201102 < 210102 ；

7）所选择的子串下标为 1 ∼ 4 ，反转后的 numnew = 201012 < 210102 ；

8）所选择的子串下标为 3 ∼ 4 ，反转后的 numnew = 210012 < 210102 ；

对于 20% 的评测用例，1 ≤ n ≤ 100 ；对于 40% 的评测用例，1 ≤ n ≤ 1000 ；对于所有评测用例，1 ≤ n ≤ 5000 。

思路：

首先，子串的左右端点以及它的长度不确定，而右端点=左端点+长度，因此可以写两层for循环得到子串的大小和位置。接着，如果是暴力做法，意味着每次要翻转字串o(n)再比较o(n**3），如果是DP ，则要找状态转移方程o(1),一共是o(n**2)。这里DP要分情况讨论，**f $l$ $r$ **表示左端点为l右端点为r的区间经过反转之后是否能符合题意，如果可以则为1，不可以则为0，最后要求的答案就是f $l$ $r$ 的加和。

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	string s;
	cin>>s;
	int ans=0;
	int N=s.size();
	int f[N][N]; 
	for(int i=2;i<s.size();i++)
	{
		for(int l=0;l<s.size()-i-1;l++)
		{
		    int r=l+i;
		    if(s[l]>s[r]) f[l][r]=1;
		    if(s[l]==s[r]) f[l][r]=f[l+1][r-1];
		    else f[l][r]=0;
		    ans+=f[l][r];
	    }
	}
	cout<<ans<<endl;
 }