《机器学习数学基础》补充资料：仿射变换

本文是对《机器学习数学基础》第 2 章 2.2.4 节齐次坐标系的内容拓展。

1. 名称的来源

仿射，是英文单词 affine 的中文翻译。

单词 affine，读音： $ə'faɪn$ 。来自于英语 affinity。英语词根 fin 来自于拉丁语 finis，表示"边界，末端"，例如finish、final 等单词。词头 ad 表示"去，往"，拼出名词 affinity，本意为"接壤，结合"，用来指"姻亲，由于婚姻而产生的亲戚关系"，引申为"亲密关系，相似性"等 $1$ ^{ $1$ } $1$ 。

中文名称"仿射"，有一种观点是音译，来自"affine geometry"中的"fine"和"geo"两部分，于是"仿射几何"就翻译出来了 $2$ ^{ $2$ } $2$ 。

2. 变换

对于几何图形，经常会有一些平移、旋转、缩放等形式的变换，如下图所示 $3$ ^{ $3$ } $3$ ：

平移，translation
旋转，rotation

平移和旋转，图形的形状（面积或体积）不变，也称为刚体变换（rigid transformation）或欧几里得变换（Euclidean transformation）。

缩放，scaling。如果每个坐标方向的缩放系数相同（即各向同性，isotropic），则为 uniform scaling
反射，reflection，关于某坐标轴对称。反射也可以看成是缩放的一个特例。

平移、旋转和各向同性的缩放，统称为相似变换（similarity transformation）。

剪切变换，shear mapping

下图显示了相似变换、线性变换的概念所涵盖的变换方式 $4$ ^{ $4$ } $4$ 。

在线性代数中所研究的线性变换（参阅《机器学习数学基础》第2章2.2节），包括：

旋转
反射
剪切
各向同性或者不同性的缩放

以上变换的组合，也是线性变换。线性变换遵循着加法和乘法封闭原则，即：

L ( p + q ) = L ( p ) + L ( q ) L ( α p ) = α L ( p ) \begin{split}&L(p+q)=L(p)+L(q)\\&L(\alpha p)=\alpha L(p)\end{split} L(p+q)=L(p)+L(q)L(αp)=αL(p)

但是，平移不是线性变换（《机器学习数学基础》第 2 章 2.2.1 节）。如果将上述的线性变换与平移合并起来，则称为 affine transformation，翻译为仿射变换 $4$ ^{ $4$ } $4$ 。

变换的范围还可继续扩大，那就是射影变换（projective transformation） $4$ ^{ $4$ } $4$ 。

本文重点探讨仿射变换。

3. 仿射空间

仿射空间 （affine space)，又称线性流形，是数学中的几何结构，这种结构是欧式空间的仿射特性的推广 $5$ ^{ $5$ } $5$ 。

在仿射空间中，点与点之间的差即为向量，点与向量的加法可以得到另一个点，但是点与点之间不可以相加。

仿射空间中没有特定的原点，因此不能将空间中的每一点和特定的向量对应起来。仿射空间中只有从一个点到另一个点的位移向量，或称平移向量。

如果 X \mathbb X X 是仿射空间， a , b ∈ X \pmb{a},\pmb{b}\in\mathbb{X} a,b∈X ，那么从 a \pmb{a} a 到 b \pmb{b} b 的位移向量为 b − a \pmb{b} − \pmb{a} b−a 。

所有向量空间都可看作仿射空间。

若 X \mathbb{X} X 是向量空间， L ∈ X \pmb{L}\in\mathbb{X} L∈X 是向量子空间， a ∈ X \pmb{a}\in\mathbb{X} a∈X ，则 a + L = { a + l : l ∈ L } \pmb{a}+\pmb{L}=\{a+l:l\in\pmb{L}\} a+L={a+l:l∈L} 是仿射空间。这里的 a \pmb{a} a 也称为平移向量。

若向量空间 X \mathbb{X} X 的维度是 n < ∞ n\lt\infty n<∞ ，那么 X \mathbb{X} X 的仿射子空间也可看作一组非齐次线性方程的解；而齐次方程的解永远是线性子空间，也就是说齐次方程的解永远包含零解。维度为 n − 1 n − 1 n−1 的仿射空间也叫做仿射超平面。

4. 仿射变换

仿射变换 （affine transformation），又称仿射映射，是对一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。即：

y = A x + b \pmb{y}=\pmb{Ax}+\pmb{b} y=Ax+b

平移变换不能用矩阵表示，为此使用齐次坐标系（《机器学习数学基础》第2章2.2.4节）。

4.1 仿射变换的性质

设 f ( x ) = A x + b f(\pmb{x})=\pmb{Ax}+\pmb{b} f(x)=Ax+b 是一个仿射变换，则 f f f 具有：

直线到直线的映射
原来平行的直线变换之后仍然平行

证明

设直线 l : p + t u , t ∈ R l:\pmb{p}+t\pmb{u},t\in\mathbb{R} l:p+tu,t∈R ，则：

f ( p + t u ) = A ( p + t u ) + b = ( A p + b ) + t ( A u ) = p 1 + t u 1 f(\pmb{p}+t\pmb{u})=\pmb{A}(\pmb{p}+t\pmb{u})+\pmb{b}=(\pmb{Ap}+\pmb{b})+t(\pmb{Au})=\pmb{p}_1+t\pmb{u}_1 f(p+tu)=A(p+tu)+b=(Ap+b)+t(Au)=p1+tu1

其中 p 1 = A p + b \pmb{p}_1=\pmb{Ap}+\pmb{b} p1=Ap+b ， u 1 = A u \pmb{u_1}=\pmb{Au} u1=Au ，则 f ( l ) = l 1 , l 1 : p 1 + t u 1 , t ∈ R f(l)=l_1, l_1:\pmb{p}_1+t\pmb{u}_1,t\in\mathbb{R} f(l)=l1,l1:p1+tu1,t∈R 仍然是直线。
设 l : p + t u l:\pmb{p}+t\pmb{u} l:p+tu 和 m : q + t v m:\pmb{q}+t\pmb{v} m:q+tv 是平行线，则 v = k u , k ∈ R \pmb{v}=k\pmb{u},k\in\mathbb{R} v=ku,k∈R ，所以：

f ( p + t u ) = A ( p + t u ) + b = ( A p + b ) + t ( A u ) = p 1 + t u 1 f ( q + t v ) = f ( q + t ( k u ) ) = A ( q + t ( k u ) ) + b = ( A q + b ) + t ( A k u ) = q 1 + t ( k u 1 ) \begin{split} f(\pmb{p}+t\pmb{u})&=\pmb{A}(\pmb{p}+t\pmb{u})+\pmb{b}=(\pmb{Ap}+\pmb{b})+t(\pmb{Au})=\pmb{p}_1+t\pmb{u}_1 \\ f(\pmb{q}+t\pmb{v})&=f(\pmb{q}+t(k\pmb{u}))\\&=\pmb{A}(\pmb{q}+t(k\pmb{u}))+\pmb{b}\\&=(\pmb{Aq}+\pmb{b})+t(\pmb{A}k\pmb{u)}\\&=\pmb{q}_1+t(k\pmb{u}_1) \end{split} f(p+tu)f(q+tv)=A(p+tu)+b=(Ap+b)+t(Au)=p1+tu1=f(q+t(ku))=A(q+t(ku))+b=(Aq+b)+t(Aku)=q1+t(ku1)

故，变换之后所得 l 1 : p 1 + t u 1 l_1:\pmb{p}_1+t\pmb{u}_1 l1:p1+tu1 与 m 1 : q 1 + t ( k u 1 ) m_1:\pmb{q}_1+t(k\pmb{u}_1) m1:q1+t(ku1) 仍然平行。

4.2 计算工具

如果对图形进行仿射变换，以下列举两个示例。

1. OpenCV

python 复制代码

import cv2 
import numpy as np 
from matplotlib import pyplot as plt 
  
  
img = cv2.imread('headpic.png') 
rows, cols, ch = img.shape 
  
pts1 = np.float32([[50, 50], 
                   [200, 50],  
                   [50, 200]]) 
  
pts2 = np.float32([[10, 100], 
                   [200, 50],  
                   [100, 250]]) 

# 构造对应点变换矩阵
M = cv2.getAffineTransform(pts1, pts2) 
dst = cv2.warpAffine(img, M, (cols, rows)) 
  
plt.subplot(121) 
plt.imshow(img) 
plt.title('Input') 
  
plt.subplot(122) 
plt.imshow(dst) 
plt.title('Output') 
  
plt.show()

输出图像

2. 仿射变换模块

Affine_transform：pip install affine-transform
Affine：pip install affine，github仓库地址：https://github.com/sgillies/affine

参考文献

$1$ . tetradecane. https://www.zhihu.com/question/345279684/answer/819134982

$2$ . 关于仿射这个词有什么通俗易懂的解释吗？. https://www.zhihu.com/question/368556037/answer/990194830

$3$ . https://www.cnblogs.com/shine-lee/p/10950963.html

$4$ . http://www.cs.tau.ac.il/\~dcor/Graphics/cg-slides/trans3d.pdf

$5$ . https://zh.wikipedia.org/wiki/仿射空间