从照片旋转到矩阵变换：探索图像旋转问题

生活中的旋转

在这个自拍时代，我们经常需要调整照片的方向。有时拍出来的照片歪了，需要旋转90度；有时想要换个角度看看效果，来回旋转照片。这种旋转操作不仅存在于我们的日常生活中，在计算机图形学、图像处理等领域也是一个基础且重要的操作。

问题描述

LeetCode第48题"旋转图像"要求我们：给定一个 n × n 的二维矩阵 matrix 表示一个图像，将图像顺时针旋转 90 度。要求必须在原地旋转图像，也就是说，你需要直接修改输入的二维矩阵。

例如：

输入：matrix = [[1,2,3],
                [4,5,6],
                [7,8,9]]
输出：[[7,4,1],
       [8,5,2],
       [9,6,3]]

就像我们在手机相册里旋转照片一样，每个像素点都要移动到新的位置，但我们需要保证不使用额外的存储空间！

最直观的解法：辅助数组

最简单的想法就像我们复印一张照片，在新的纸上重新排列像素。虽然这种方法使用了额外空间，不符合题目要求，但它帮助我们理解旋转的本质。

辅助数组的实现

java 复制代码

public void rotate(int[][] matrix) {
    int n = matrix.length;
    // 创建一个新的n×n数组
    int[][] temp = new int[n][n];
    
    // 将原矩阵旋转90度后的结果存入临时数组
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            // 关键转换：第i行第j列的元素，旋转后变成第j行第(n-1-i)列
            temp[j][n-1-i] = matrix[i][j];
        }
    }
    
    // 将结果复制回原矩阵
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            matrix[i][j] = temp[i][j];
        }
    }
}

优化解法：原地旋转

仔细观察，我们发现90度旋转可以通过两步简单的操作完成：先沿对角线翻转，再沿竖直中线翻转。就像折纸一样，通过两次折叠就能达到旋转的效果！

原地旋转的原理

想象你在玩魔方：

第一步：沿主对角线翻转（左上到右下的对角线）
- [i,j] 变成 [j,i]
第二步：沿竖直中线翻转
- [i,j] 变成 [i,n-1-j]

示例运行

用3×3矩阵来说明：

原始矩阵：    对角线翻转：    竖直中线翻转：
1 2 3         1 4 7          7 4 1
4 5 6   →     2 5 8    →     8 5 2
7 8 9         3 6 9          9 6 3

第一步：对角线翻转
- (1,2)和(2,1)交换
- (1,3)和(3,1)交换
- (2,3)和(3,2)交换

第二步：竖直中线翻转
- 第1列和第3列交换
- 第2列保持不变

Java代码实现

java 复制代码

public void rotate(int[][] matrix) {
    int n = matrix.length;
    
    // 步骤1：沿主对角线翻转
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i; j < n; j++) {
            // 交换matrix[i][j]和matrix[j][i]
            int temp = matrix[i][j];
            matrix[i][j] = matrix[j][i];
            matrix[j][i] = temp;
        }
    }
    
    // 步骤2：沿竖直中线翻转
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n/2; j++) {
            // 交换matrix[i][j]和matrix[i][n-1-j]
            int temp = matrix[i][j];
            matrix[i][j] = matrix[i][n-1-j];
            matrix[i][n-1-j] = temp;
        }
    }
}

解法比较

让我们比较这两种方法：

辅助数组法：

时间复杂度：O(n²)
空间复杂度：O(n²)
优点：直观易懂，容易实现
缺点：需要额外空间，不满足原地旋转的要求

原地旋转法：

时间复杂度：O(n²)
空间复杂度：O(1)
优点：不需要额外空间，完美满足题目要求
缺点：需要理解矩阵变换的数学原理

实用技巧总结

解决矩阵旋转问题的关键点：

观察旋转前后元素位置的对应关系
寻找可以分解的子操作（如翻转）
正确处理边界情况
小心不要重复交换元素

小结

通过旋转图像这道题，我们学会了如何通过巧妙的数学变换来完成矩阵旋转。这种思维方式不仅能解决算法题，在图像处理、计算机图形学等领域都有广泛应用。记住，当遇到需要变换矩阵的问题时，可以考虑将复杂的变换分解为简单的操作组合，这样往往能得到更优雅的解决方案！

作者：忍者算法

公众号：忍者算法

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【忍者算法】从照片旋转到矩阵变换：探索图像旋转问题｜LeetCode 48 旋转图像