一个结论
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定义一个长度为 n 的序列 A \\langle a_1,a_2,a_3, \\cdots , a_n \\rangle ，表示有 a_i 个 i 。
对于两个这样的序列 A , B ，如果他们满足
1、 \| \\sum_{i=1}\^n a_i i - \\sum_{i=1}\^n b_i i \| \\lt n
2、 \\sum_{i=1}\^n ak_i i \\not = \\sum_{i=1}\^n bk_i i (ak_i \\le a_i , bk_i \\le b_i , \\exists i , a_i \\not = ak_i \\ or \\ b_i \\not = bk_i )
那么有
\[\forall i , a_i \lt n ,b_i \lt n \]
证明：
此证明来自 int_R 和 9G
我们考虑反证，假设 存在一个 i ，满足 a_i \\ge n ，我们将 B 序列展开，举个例子 ， n = 4 , B= \\langle 1,2,3,4 \\rangle ，那么我们展开成为 B ' = (1,2,2,3,3,3,4,4,4,4) ，然后对 B ' 在 \\pmod { a_i } 意义下做一个前缀和，只考虑前 a_i 个位置，要么出现两个位置相同，要么出现一个位置是 0 ，两者都意味着有一个长度 \\le n 的区间的和 S \\equiv 0 \\pmod {a_i} ，因为每个数 \\le n ，所以 S \\le a_i n ，同时在 A 中有 \\ge n 个 a_i ，所以他们不满足第二条条件，否则一定有 B 的长度 \\lt a_i ，那么 B 中所有元素和 S ' \\le (a_i - 1)n ， A 中所有元素和 K ' \\ge a_i n ，所以 \| S ' - K ' \| \\ge n ，不满足第一条性质，所以可以证明不存在 a_i \\le n 的情况，得证。
想法来源
正解直接用决策单调性优化 DP 即可，有加强版 雅礼集训 2017 Day5」珠宝 /「NAIPC2016」Jewel Thief 。
但是场上想出了另外一种奇妙的方法，虽然当时不会证明：
首先我们按照平均值去贪心的选，然后就会出现这种情况：按照贪心，下一个应该选一个 b_i = 5 的物品，但是如果容量只剩下 1,2,3,4 呢，我们需要微调一下，相当于退几个物品，那几个物品，可以套用上面的结论，所以我们对每种 b_i ，选出已经选了的 4 个最劣的并退掉，选出没选的 4 个最优的，放在一起跑个背包，一共选了 40 个物品，推掉了权值和为 60 的，所以最大容量只需要 64 即可，然后跑一个 40 \\cdot 64 的背包，时间复杂度算出来有点小炸，但是常数很小，即使跑满了最大点也只用 430 ms ，可以过题。
其实最远古的想法是 P10961 划分大理石
同样可以优化到常数级别的背包。