【信息学奥赛一本通 C++题解】1281:最长上升子序列

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基础算法 第一节 动态规划的基本模型
1281:最长上升子序列


小学生的课堂讲解

1. 理解题意

同学们,我们今天要解决一个有趣的问题------最长上升子序列问题。啥是上升子序列呢?比如说有这么一串数字,像1, 3, 5,后面的数字总是比前面的数字大,这就是一个上升子序列啦。那我们拿到一个长长的数字序列,要找出里面最长的那个上升子序列有多长。

举个例子,如果给我们的数字序列是1, 7, 3, 5, 9, 4, 8,这里面有很多上升子序列,像1, 73, 4, 8等等。我们要找出其中最长的,在这个例子里最长的上升子序列长度是 4,比如1, 3, 5, 8。所以我们的任务就是,不管给我们什么样的数字序列,都要算出它最长上升子序列的长度。

2. 解题思路

我们可以用一种像搭积木一样的方法来解决这个问题,这种方法叫动态规划。

我们先想象每个数字都有一个"小标签",这个"小标签"记录着以这个数字结尾的最长上升子序列有多长。一开始,每个数字自己就是一个长度为 1 的上升子序列,所以每个数字的"小标签"上都先写上 1。

然后呢,我们从第二个数字开始,一个一个地看。对于每个数字,我们回头看看它前面的那些数字。要是前面有个数字比它小,那就说明可以把这个小的数字和当前数字连起来,形成一个更长的上升子序列。我们就比较一下,是原来这个数字"小标签"上的长度长,还是前面那个小数字"小标签"上的长度加 1 长,把长的那个写在当前数字的"小标签"上。

最后,我们看看所有数字的"小标签",找出最大的那个数字,这个数字就是整个序列最长上升子序列的长度啦。

3. 解题步骤

  • 第一步:输入数字序列:我们要先知道有多少个数字,然后把这些数字一个一个地记下来。
  • 第二步:给每个数字的"小标签"初始化:让每个数字的"小标签"都写上 1,因为每个数字自己就是长度为 1 的上升子序列。
  • 第三步:更新"小标签":从第二个数字开始,一个一个地看,对于每个数字,看看它前面比它小的数字,更新它的"小标签"。
  • 第四步:找出最长的长度:看看所有数字的"小标签",找出最大的那个,这就是我们要的答案。

4. C++代码实现

cpp 复制代码
#include <iostream>  // 包含输入输出流的头文件,这样我们就能从键盘输入数字,把结果输出到屏幕上啦
using namespace std; 

int main() {
    int n;  // 定义一个变量 n,用来存数字序列里有多少个数字
    cin >> n;  // 从键盘输入数字的个数,存到 n 里
    int a[1005];  // 定义一个数组 a,用来存数字序列,最多能存 1005 个数字
    int dp[1005];  // 定义一个数组 dp,这就是我们说的"小标签"数组,用来存以每个数字结尾的最长上升子序列的长度

    // 输入数字序列,并给"小标签"初始化
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];  // 从键盘输入一个数字,存到数组 a 的第 i 个位置
        dp[i] = 1;  // 把"小标签"数组 dp 的第 i 个位置初始化为 1
    }

    // 更新"小标签"
    for (int i = 2; i <= n; i++) {  // 从第二个数字开始看
        for (int j = 1; j < i; j++) {  // 看看当前数字前面的所有数字
            if (a[j] < a[i]) {  // 如果前面的数字 a[j] 比当前数字 a[i] 小
                // 比较 dp[i] 和 dp[j] + 1 的大小,把大的那个存到 dp[i] 里
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);  
            }
        }
    }

    int ans = 0;  // 定义一个变量 ans,用来存最长上升子序列的长度,先初始化为 0
    // 找出"小标签"数组里的最大值
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ans = max(ans, dp[i]);  // 比较 ans 和 dp[i] 的大小,把大的那个存到 ans 里
    }

    cout << ans << endl;  // 把最长上升子序列的长度输出到屏幕上
    return 0;
}

5. 知识点总结

  • 数组 :就像我们的"小仓库",可以把很多东西(这里是数字)一个一个地放进去,还能按照顺序找到它们。我们用a数组存数字序列,用dp数组存每个数字对应的"小标签"。
  • 循环:循环就像一个小机器人,会按照我们的要求重复做一些事情。这里用了两层循环,外层循环一个一个地看数字,内层循环回头看前面的数字,这样就能更新每个数字的"小标签"啦。
  • 动态规划:这是一种很厉害的解题方法,把大问题分成很多小问题,先解决小问题,再从这些小问题的答案里找到大问题的答案。在这个问题里,我们先算出每个数字对应的最长上升子序列长度,再从这些长度里找出最大的,就是整个序列的最长上升子序列长度啦。
  • 比较大小 :用max函数来比较两个数的大小,找出大的那个数。这样就能更新"小标签"和最终的答案啦。
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