包子凑数——蓝桥杯真题Python

阿常112025-02-27 9:55

包子凑数

输入输出样例

示例 1

输入

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2
4
5

输出

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样例说明

凑不出的数目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。

示例 2

输入

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2
4
6

输出

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INF

样例说明

所有奇数都凑不出来，所以有无限多个

运行限制

最大运行时间：1s
最大运行内存: 256M

最大公约数

最大公约数：Greatest Common Divisor,GCD,指两个或多个整数共有约数中的最大值。

计算方法：

质因数分解法：将各数分解为质因数，取共有质因数的最小幂次乘积。

例如，求36和48的GCD：

36=2^2 * 3^2,48=24 * 3^1

GCD=2^2*31=12
辗转相除法（欧几里得算法）：基于定理 gcd (a,b)=gcd (b,a mod b)，迭代至余数为零。

例如，求 1071 和 462 的 GCD：

1071 ÷ 462 = 2（余 147）→ gcd (462,147)

462 ÷ 147 = 3（余 21）→ gcd (147,21)

147 ÷ 21 = 7（余 0）→ GCD 为 21

裴蜀定理

定理内容：对于多个整数，若其GCD为d，则它们线性组合的所有可能结果均为d的倍数。
无限不可凑数判定：若所有整数的GCD大于1，则只能凑出d的倍数，此时就有无限多无法凑出的数目，如GCD=2，那么所有的奇数都无法凑出。
有限不可凑数判定：若GCD为1，则存在一个最大不可凑数M，超过M的所有数均可被凑出，

解题步骤

首先输入n和数组A
情况一：若数组A中包含1，那么说明任何数都能凑，打印0.
情况二：GCD!=1，则说明有无数个无法凑出的数，打印INF。
情况三：GCD==1，则进入动态规划步骤。

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import math
def main():
    n = int(input())
    A = [[int(input())] for _ in range(n)]
    if 1 in A:
        print("0")
      	return
    g = A[0]
    for a in A:
        g = math.gcd(a,g)
    if g != 1 :
        print("INF")
        return
    else :
        maxSize = 10000
        dp = [False] * (maxSize + 1)
        dp[0] = True
        for i in range(1, maxSize+1):
            if dp[i]:
                for a in A:
                    if i+a < maxSize+1:
                        dp[i+a] = True
        result = 0
        for i in dp:
            if i == False:
                result += 1
        print(result)
        return
    
if __name__ == "__main__":
    main()