小D的‘abc'变化问题

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小D的'abc'变化问题

常规解法

1.使用一个对象存储每个字符的替换规则

• 将 'a' 变成 'bc'
• 将 'b' 变成 'ca'
• 将 'c' 变成 'ab'

const transform = {
'a': 'bc',
'b': 'ca',
'c': 'ab'
}

2.模拟操作，使用forof循环，重复k次操作，根据替换规则将key选项替换为新的字符串判断，并拼接到一个新的字符串中

for (let i = 0; i < k; i++) {
        let newString = '';
        for (let char of s) {
            newString += transform[char];
        }
        s = newString; // 更新字符串
    }

3. return出来
4. 以下是基于上述思路的 JavaScript 实现：

function solution(s, k) {
    const transform = {
        'a': 'bc',
        'b': 'ca',
        'c': 'ab'
    }
    for (let i = 0; i < k; i++) {
        let newString = ''
        for (const char of s) {
            newString += transform[char]
        }
        s = newString
    }
    return s
}

5.时间复杂度分析：

• 每次操作会将字符串的长度扩大到原来的两倍，因此字符串的长度会呈指数增长。
• 每次操作的时间复杂度为 O(n)，其中 n 是当前字符串的长度。
• 总的时间复杂度为 O(n * 2^k)，其中 n 是初始字符串的长度，k 是操作次数。

大k值的思考

对于大值的 k，直接模拟每次操作会导致字符串长度呈指数级增长，从而使得时间和空间复杂度变得不可接受。例如，初始字符串长度为 n，经过 k 次操作后，字符串长度会变为 n * 2^k。当 k 较大时，这会导致巨大的内存消耗和计算时间。

因此，我们需要寻找一种更高效的解决方案，避免直接生成最终的字符串，而是通过数学规律或模式来解决问题。

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观察规律

我们可以通过观察字符串的变化规律来寻找解决方案。以初始字符串 "abc" 为例，观察前几次操作的结果：

1. 初始："abc"
2. 第一次操作："bccaab"
3. 第二次操作："caababbcbcca"

我们可以发现，每次操作都会将每个字符替换为一个固定的模式：

• 'a' 变成 'bc'
• 'b' 变成 'ca'
• 'c' 变成 'ab'

进一步观察，我们发现：

• 每个字符在经过一次操作后，会变成两个字符。
• 经过两次操作后，每个字符会变成四个字符。
• 经过 k 次操作后，每个字符会变成 2^k 个字符。

这意味着，最终字符串的长度为初始字符串长度的 2^k 倍。

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关键观察

1. 周期性：经过多次操作后，字符串的模式可能会出现周期性。例如，经过若干次操作后，某些子字符串可能会重复出现。
2. 递归关系 ：每个字符的扩展可以通过递归关系描述。例如，'a' 经过一次操作变成 'bc'，而 'b' 和 'c' 又会继续扩展。

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高效解决方案

为了避免直接生成整个字符串，我们可以利用递归关系和模式匹配来解决问题。具体思路如下：

1. 递归扩展 ：定义一个函数 expand(char, k)，用于计算单个字符经过 k 次操作后的结果。
2. 分治策略：将问题分解为多个子问题，分别计算每个字符的扩展结果，然后拼接起来。
3. 避免重复计算：利用缓存（记忆化递归）来存储已经计算过的扩展结果，避免重复计算。

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实现代码

以下是基于上述思路的 JavaScript 实现：

function expand(char, k, memo) {
    // 如果 k 为 0，直接返回字符本身
    if (k === 0) return char;

    // 如果已经计算过，直接返回缓存结果
    if (memo[char] && memo[char][k]) {
        return memo[char][k];
    }

    // 定义字符的扩展规则
    const rules = {
        'a': 'bc',
        'b': 'ca',
        'c': 'ab'
    };

    // 递归扩展
    let result = '';
    for (let nextChar of rules[char]) {
        result += expand(nextChar, k - 1, memo);
    }

    // 缓存结果
    if (!memo[char]) memo[char] = {};
    memo[char][k] = result;

    return result;
}

function transformString(s, k) {
    // 初始化缓存
    const memo = {};
    let result = '';

    // 对每个字符进行扩展
    for (let char of s) {
        result += expand(char, k, memo);
    }

    return result;
}

// 测试样例
console.log(transformString("abc", 2)); // 输出：'caababbcbcca'
console.log(transformString("abca", 3)); // 输出：'abbcbccabccacaabcaababbcabbcbcca'
console.log(transformString("cba", 1)); // 输出：'abcabc'

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优化后的算法分析

1. 时间复杂度 ：
   • 每个字符的扩展通过递归实现，但通过缓存避免了重复计算。
   • 每个字符的扩展最多计算 k 次，因此时间复杂度为 O(n * k) ，其中 n 是初始字符串的长度。
2. 空间复杂度 ：
   • 缓存存储了每个字符在不同操作次数下的扩展结果，空间复杂度为 O(n * k)。

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优势

• 适用于大 k 值：通过递归和缓存，避免了直接生成整个字符串，大大减少了时间和空间消耗。
• 高效性：利用分治策略和记忆化递归，显著提高了算法效率。

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测试大 k 值

我们可以测试一个较大的 k 值，验证算法的效率：

console.log(transformString("abc", 10)); // 输出结果（字符串长度为 3 * 2^10）

这个实现可以高效处理大 k 值的情况，而不会导致性能问题。