LeetCode 2588: 统计美丽子数组数目

题目描述

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums。每次操作中，你可以：

选择两个满足 0 <= i, j < nums.length 的不同下标 i 和 j。
选择一个非负整数 k，满足 nums[i] 和 nums[j] 在二进制下的第 k 位（下标编号从 0 开始）是 1。
将 nums[i] 和 nums[j] 都减去 2^k。

如果一个子数组内执行上述操作若干次后，该子数组可以变成一个全为 0 的数组，那么我们称它是一个 美丽子数组。

请你返回数组 nums 中 美丽子数组 的数目。

示例 1：

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输入: nums = [4,3,1,2,4]
输出: 2

示例 2：

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输入: nums = [1,10,4]
输出: 0

解题思路

本题的核心在于：如果一个子数组是美丽的，那么它的所有元素异或后的结果必然为 0。

我们可以利用 前缀异或和 + 哈希表 来高效计算满足条件的子数组数量。

前缀异或的思路

设 preXor[i] 表示从数组起点到索引 i 的前缀异或和。
如果某一段子数组 nums[l..r] 异或和为 0，那么它满足美丽子数组的条件。
由于 preXor[i] = preXor[j] 表示 nums[j+1..i] 这段子数组的异或和为 0，因此我们可以使用哈希表 cnt 统计 preXor 出现的次数。
每次计算当前 preXor[i] 时，累加 cnt[preXor[i]] 到答案中。

代码实现

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from collections import defaultdict

class Solution:
    def beautifulSubarrays(self, nums: List[int]) -> int:
        dict1 = defaultdict(int)  # 存储前缀异或和出现次数
        ans, cur = 0, 0
        dict1[0] = 1  # 处理从索引 0 开始就是美丽子数组的情况
        
        for num in nums:
            cur ^= num  # 计算当前的前缀异或和
            ans += dict1[cur]  # 统计当前前缀异或和已出现的次数
            dict1[cur] += 1  # 记录当前异或和出现的次数
        
        return ans

代码解析

cur：记录当前前缀异或和。
dict1[cur]：记录前缀异或和 cur 出现的次数。
dict1[0] = 1：表示当 cur == 0 时，说明从 0 到 i 的子数组本身是美丽子数组。
遍历 nums，每次更新 cur ^= num 计算当前前缀异或和。
ans += dict1[cur] 统计 cur 之前出现的次数，这些都是满足异或和为 0 的子数组。
最后更新 dict1[cur] 以记录当前 cur 的次数。

时间复杂度分析

时间复杂度 ：O(n)，遍历 nums 一次，每次操作均为 O(1)。
空间复杂度 ：O(n)，哈希表 dict1 最坏情况下存储 n 个不同的前缀异或和。

示例分析

示例 1

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nums = [4,3,1,2,4]

计算前缀异或和并统计 dict1:

i	nums $i$	cur (前缀异或)	dict1 计数	ans (累计美丽子数组)
0	4	4	{0:1, 4:1}	0
1	3	7	{0:1, 4:1, 7:1}	0
2	1	6	{0:1, 4:1, 7:1, 6:1}	0
3	2	4	{0:1, 4:2, 7:1, 6:1}	1
4	4	0	{0:2, 4:2, 7:1, 6:1}	2

最终答案 ans = 2，表示 nums 中存在两个美丽子数组。

示例 2

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nums = [1,10,4]

计算前缀异或和 cur 依次为 [1, 11, 15]，它们都没有重复出现，因此 ans = 0。

总结

核心思想 ：利用前缀异或和的性质，判断某个子数组是否异或和为 0。
哈希表优化 ：利用 dict1 记录 cur 出现的次数，实现 O(n) 复杂度计算。
适用范围 ：适用于寻找连续子数组异或和特定值 的问题，比如 560. 和为 K 的子数组。

这道题的解法很巧妙，是 前缀异或 + 哈希表 的经典应用，值得深入理解！