1.介绍
权重衰退是常见的处理过拟合的方法
- 控制模型容量方法
- 把模型控制的比较小，即里面参数比较少
- 使参数选择范围小
- 约束就是正则项
每个特征的权重都大会导致模型复杂，从而导致过拟合。
控制权重矩阵范数可以使得减少一些特征的权重，甚至使他们权重为0，从而导致模型简单，减轻过拟合
使用均方范数作为硬性限制
权重衰退即是通过控制参数选择范围来控制模型容量的
- 公式表达：
m i n l ( w , b ) s u b j e c t t o ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 ≤ θ min\ l(w,b)\ \ subject\ to ||w||^2 ≤ \theta min l(w,b) subject to∣∣w∣∣2≤θ
l l l：损失函数
w w w：参数
b b b：偏移
在最小化损失函数时加上限制，使参数的平方和小于一个特定的值，也就说明每个参数的值要小于 θ \theta θ开根
通常不限制偏移b
小的 θ \theta θ意味着更强的正则项
使用均方范数作为柔性限制
- Df：对每个 θ \theta θ，都可以找到 λ \lambda λ使得之前的目标函数等价于下面：
m i n l ( w , b ) + λ 2 ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 min \ l(w,b)+\frac{\lambda}{2} || w||^2 min l(w,b)+2λ∣∣w∣∣2
（可以通过拉格朗日乘子来证明） - 超参数 λ \lambda λ控制了正则项的重要程度
- λ = 0 \lambda=0 λ=0：无作用（当 λ = 0 \lambda=0 λ=0时，即没有后面的限制，相当于上一个公式里 θ = ∞ \theta=\infty θ=∞）
- λ → ∞ , w ∗ → 0 \lambda \rightarrow \infty, w^* \rightarrow0 λ→∞,w∗→0：相当于上面 θ → 0 \theta \rightarrow0 θ→0，也就使 w ∗ → 0 w^* \rightarrow0 w∗→0
想通过控制模型参数使模型不要太复杂时，可以通过增加 λ \lambda λ来满足需求（这里 λ \lambda λ是一个平滑的，不像以前的硬性限制）
- 这里可以理解拉格朗日乘子法：
- 拉格朗日乘子法原本是用于解决约束条件下的多元函数极值问题。举例，求f(x,y)的最小值，但是有约束C(x,y) = 0。乘子法给的一般思路是，构造一个新的函数g(x,y,λ) = f(x,y) +λC(x,y)，当同时满足g'x = g'y = 0时，函数取到最小值。这件结论的几何含义是，当f(x,y)与C(x,y)的等高线相切时，取到最小值。
- 具体到机器学习这里， C ( x , y ) = w 2 − θ C(x,y) = w^2 -θ C(x,y)=w2−θ。所以视频中的黄色圆圈，代表不同θ下的约束条件。θ越小，则最终的parameter离原点越近。
- 绿色的线就是原始损失函数l的等高线，优化损失函数l的最优解（波浪号即最优解）在中心位置
- 当原始损失加入 λ 2 \frac{\lambda}{2} 2λ项之后，这个项是一个二次项，假如w就两个值，x1（横轴）x2（纵轴），则在图上这个二次项的损失以原点为中心的等高线为橙色的图所示。所以合并后的损失为绿色和黄色的线加一起的损失
- 当加上损失项后，可知原来最优解对应的二次项的损失特别大，因此原来的最优解不是加上二次项后的公式的最优解了。若沿着橙色的方向走，原有l损失值会大一些，但是二次项罚的损失会变小，当拉到平衡点以内时，惩罚项减少的值不足以原有l损失增大的值，这样w*就是惩罚项后的最优解
- 损失函数加上正则项成为目标函数，目标函数最优解不是损失函数最优解。
正则项就是防止达到损失函数最优导致过拟合，把损失函数最优点往外拉一拉。 鼓励权重分散，将所有特征运用起来，而不是依赖其中的少数特征，并且权重分散的话他的内积就小一点 - l2正则项会对大叔之的权值进行惩罚
回顾平方损失：
相对原来的权重更新，再减去一个值后，使得这个权重更进一步减小，这样会导致这个权重所占的比例进一步减小
参数更新法则
2. 代码实现（手动实现）
python
%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l像以前一样生成一些人工数据：
python
n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20,100,200,5
# 数据越简单，模型越复杂，越容易过拟合。
# num_inputs：特征维度
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1))*0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train) # 生成人工数据集
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)
# 初始化模型参数
def init_params():
w=torch.normal(0,1,size=(num_inputs,1), requires_grad=True)
# 均值为0，方差为1，长度时num_inputs*1的向量，需要梯度
b=torch.zeros(1,requires_grad=True)
# b：为全0的标量
return [w,b]
# 定义L2范数惩罚项（核心）
def l2_penalty(w):
return torch.sum(w.pow(2)) / 2
# 注意不要把lambda写进去，因为要写在外面
def train(lambd):
w, b = init_params() # 初始化模型参数
net, loss = lambda X:d2l.linreg(X,w,b), d2l.squared_loss
# net做了个很简单的线性回归
# 损失函数用平方损失
num_epochs, lr = 100, 0.003 # 因为数据量很小，所以可以多训练几次
animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log', xlim=[5,num_epochs], legend=['train', 'test']) # 实现动画效果
# 标准训练过程
for epoch in range(num_epochs):
for X,y in train_iter:
# with torch.enable_grad():
l = loss(net(X), y) + lambd*l2_penalty(w) # L2范数惩罚项
l.sum().backward()
d2l.sgd([w,b], lr, batch_size) # 使用小批量随机梯度下降迭代模型参数
if (epoch+1)%5==0:
animator.add(epoch+1,
(d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss))
)
print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())
3.简单实现（使用框架）
python
def train_concise(wd):
net=nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
for param in net.parameters():
param.data.normal_()
loss = nn.MSELoss()
num_epoch, lr = 100,0.003
trainer = torch.optim.SGD(
[{"params":net[0].weight,"weight_decay":wd},{'params':net[0].bias}],
lr=lr)
# 惩罚项既可以写在目标函数里，也可以写在训练算法里，每一次更新之前把当前的w乘以衰退因子weight_decay
animator=d2l.Animator(xlabel='epochs',ylabel='loss',yscale='log',xlim=[5, num_epoch],legend=['train','test'])
for epoch in range(num_epoch):
for X,y in train_iter:
with torch.enable_grad():
trainer.zero_grad()
l = loss(net(X), y)
l.backward()
trainer.step()
if (epoch+1) % 5 == 0:
animator.add(epoch+1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss), d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
print('w的L2范数是：', net[0].weight.norm().item())