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今天我们来点有意思的算法：前缀和
前缀和与差分的核⼼思想是预处理 ，可以在暴⼒枚举的过程中，快速给出查询的结果，从⽽优化间复杂度。
是经典的⽤空间替换时间的做法。
3.19 前缀和
如图所示，这里有一个数组：
那么他的前缀和数组（假设数组名为 f ）f i 就是数组a在第 i 个元素前的所有元素的累加，如下图：
这就是前缀和数组，至于他有什么用，让我们去题目里面一探究竟
一、【模板】前缀和
题目链接：
题目描述：
解题思路：
题目的意思是给我们一个数组，在给我们一个范围，我们需要将范围里的数字全部累加最后输出即可。
这里我们很容易就可以想到一种暴力解法，直接枚举数组中从 l 到 r 的元素全部累加起来就可以了，但是这样的时间复杂度是O(q * n) 的，也就是10^10，必定会超时 ，因此我们就需要换一个解题的思路，前缀和数组就是为了解决这些问题诞生的数组，专门用于解决数组中连续一段元素的和的问题
因为我们只需要在前缀和数组中求 **f r - f l - 1 **就可以得到我们想要的目标值，理由如图：
用前缀和数组来处理此问题只需要**O(1)**的时间复杂度即可
解题代码：
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
LL a[N]; // 原数组
LL f[N]; // 前缀和数组
int n, q;
int main()
{
cin >> n >> q;
for(int i = 1; i <= n; i++) // 这里初始化前缀和数组必须从1开始
{
cin >> a[i];
f[i] = f[i - 1] + a[i];
}
while(q--)
{
int left, right; cin >> left >> right;
cout << f[right] - f[left - 1] << endl;
}
return 0;
}二、最大子段和
题目链接：
题目描述：
解题思路：
这题我们依然利用前缀和来解决，题目中要求我们求最大子段和，我们可以用前缀和减去前面的前驱最⼩值
解题代码：
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2e5 + 10;
LL f[N]; // 预处理前缀和数组
int n;
int main()
{
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
LL a; cin >> a;
f[i] = f[i - 1] + a; // 初始化前缀和数组
}
LL prevmin = 0;
LL ret = -1e10;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
ret = max(ret, f[i] - prevmin);
prevmin = min(prevmin, f[i]);
}
cout << ret << endl;
return 0;
}三、⼆维前缀和
题目链接：
题目描述：
解题思路：
我们直接看图吧，比如我们需要求 f i j 的二维前缀和
这里我们可以得到构造二维前缀和数组的公式：
fij = fij - 1 + fi - 1j - fi - 1j - 1 + aij
如果想求出题目中给定区域的和，就需要我们在思考一下
如上图，我们就可以得到另一个公式：
sum = fx2y2 - fx1 - 1y2 - fx2y1 - 1 + fx1- 1y1 - 1
有了上面两个公式就可以写代码啦
解题代码：
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1010;
LL f[N][N];
int n, m, q;
int main()
{
cin >> n >> m >> q;
// 预处理前缀和数组
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = 1; j <= m; j++)
{
LL a; cin >> a;
f[i][j] = f[i][j - 1] + f[i - 1][j] - f[i - 1][j - 1] + a;
}
}
while(q--)
{
int x1, y1, x2, y2; cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
cout << f[x2][y2] - f[x1 - 1][y2] - f[x2][y1 - 1] + f[x1 - 1][y1 - 1] << endl;
}
return 0;
}四、激光炸弹
题目链接：
题目描述：
解题思路：
这题直接利用上面的二维前缀和，加上暴力枚举在地图上所有的题目给的正方形就行了
解题代码：
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 5010;
int a[N][N], f[N][N];
int n, m;
int main()
{
cin >> n >> m;
while (n--)
{
int x, y, v; cin >> x >> y >> v;
a[x + 1][y + 1] += v; // 处理前缀和数组下标要大于1，因此这里把x,y都+1
}
int n = 5001, ret = 0; // 地图大小
// 预处理前缀和数组
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j -1] + a[i][j];
}
}
// 暴力枚举所有正方形
for (int i = 1; i <= n - m + 1; i++)
{
for (int j = 1; j <= n - m + 1; j++)
{
int x1 = i, y1 = j, x2 = i + m - 1, y2 = j + m - 1;
int sum = f[x2][y2] - f[x1 - 1][y2] - f[x2][y1 - 1] +f[x1 - 1][y1 - 1];
ret = max(sum, ret);
}
}
cout << ret << endl;
return 0;
}OK啦，本期内容就到这吧，明天讲差分算法，感兴趣的可以点个关注哈