经济均衡问题建模与求解：单一市场供需平衡分析

内容摘要

本文以单一生产商与消费者的市场均衡问题为核心，通过线性规划模型求解清算价格。详细阐述了供需平衡约束的对偶价格含义，演示了Matlab求解过程，并对模型扩展与实际应用进行了探讨。

关键词：经济均衡；线性规划；清算价格；对偶价格；市场供需。

一、引言

在市场经济中，供需平衡是维持稳定的关键机制。当市场价格偏离均衡点时，生产商与消费者的行为会发生变化：价格上升刺激供应但抑制需求，价格下降则反之。如何通过数学模型确定市场清算价格？本文以单一生产商与消费者的市场为例，建立线性规划模型，结合LINGO与Matlab求解，并深入分析对偶价格的经济含义。

二、问题描述与模型构建

2.1 案例背景

假设市场上仅有一个生产商（甲）和一个消费者（乙），其供需数据如下表：

生产商 (甲)		消费者(乙)
单价 (万元/t)	供应能力	单价 (万元/t)	需求能力 (t)
1	2	9	2
2	4	4.5	4
3	6	3	6
4	8	2.25	8

直观上，当单价为3万元/t时供需平衡（各6t）。但为了处理更一般的情况，需建立优化模型。

2.2 模型假设与变量定义

引入虚拟经销商作为中介，以利润最大化为目标：

决策变量：
- ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 x_1, x_2, x_3, x_4 x1,x2,x3,x4 )：甲在单价1、2、3、4万元/t时的供应量
- ( y 1 , y 2 , y 3 , y 4 y_1, y_2, y_3, y_4 y1,y2,y3,y4 )：乙在单价9、4.5、3、2.25万元/t时的需求量
目标函数 ：经销商总利润
m a x ( 9 y 1 + 4.5 y 2 + 3 y 3 + 2.5 y 4 − x 1 − 2 x 2 − 3 x 3 − 4 x 4 ) max \left( 9y_1 + 4.5y_2 + 3y_3 + 2.5y_4 - x_1 - 2x_2 - 3x_3 - 4x_4 \right) max(9y1+4.5y2+3y3+2.5y4−x1−2x2−3x3−4x4)
约束条件：
1. 供需平衡 ：( ∑ i = 1 4 x i = ∑ i = 1 4 y i \sum_{i=1}^4 x_i = \sum_{i=1}^4 y_i ∑i=14xi=∑i=14yi)
2. 供应限制 ：( x i ≤ 2 ( i = 1 , 2 , 3 , 4 ) x_i \leq 2 \quad (i=1,2,3,4) xi≤2(i=1,2,3,4) )
3. 需求限制 ：( y i ≤ 2 ( i = 1 , 2 , 3 , 4 ) y_i \leq 2 \quad (i=1,2,3,4) yi≤2(i=1,2,3,4) )
4. 非负约束 ：( x i , y i ≥ 0 x_i, y_i \geq 0 xi,yi≥0 )

三、模型求解与结果分析

3.1 matlab求解过程

matlab 复制代码

% 目标函数系数
% 依次为 A1, A2, A3, A4, B1, B2, B3, B4, X1, X2, X3, X4, Y1, Y2, Y3, Y4, AX, AY, BX, BY
f = [-1 -2 -3 -4 -2 -4 -6 -8 9 4.5 3 2.25 15 8 5 3 0 -1.5 -2 0];
f = -f; 

% 不等式约束矩阵 A 和向量 b
% 供应限制
A1 = [eye(4), zeros(4, 16); zeros(4, 4), eye(4), zeros(4, 12)];
b1 = [2; 2; 2; 2; 1; 3; 4; 4];
% 需求限制
A2 = [zeros(4, 8), eye(4), zeros(4, 8); zeros(4, 12), eye(4), zeros(4, 4)];
b2 = [2; 2; 2; 2; 1; 2; 3; 4];
A = [A1; A2];
b = [b1; b2];

% 等式约束矩阵 Aeq 和向量 beq
% 甲的供货总量平衡
Aeq1 = [ones(1, 4), zeros(1, 16), -1, -1, 0, 0];
% 丙的供货总量平衡
Aeq2 = [zeros(1, 4), ones(1, 4), zeros(1, 16), 0, 0, -1, -1];
% 乙的购买总量平衡
Aeq3 = [zeros(1, 8), ones(1, 4), zeros(1, 12), -1, 0, -1, 0];
% 丁的购买总量平衡
Aeq4 = [zeros(1, 12), ones(1, 4), zeros(1, 8), 0, -1, 0, -1];
Aeq = [Aeq1; Aeq2; Aeq3; Aeq4];
beq = zeros(4, 1);

% 变量下界
lb = zeros(20, 1);

% 求解线性规划问题
[x, fval] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb);

% 提取各变量的值
A = x(1:4);
B = x(5:8);
X = x(9:12);
Y = x(13:16);
AX = x(17);
AY = x(18);
BX = x(19);
BY = x(20);

% 输出结果
disp('生产商甲的销售数量：');
disp(A);
disp('生产商丙的销售数量：');
disp(B);
disp('消费者乙的购买数量：');
disp(X);
disp('消费者丁的购买数量：');
disp(Y);
disp('甲向乙的供货量：');
disp(AX);
disp('甲向丁的供货量：');
disp(AY);
disp('丙向乙的供货量：');
disp(BX);
disp('丙向丁的供货量：');
disp(BY);
disp('目标函数最优值（最大利润）：');
disp(-fval);

3.2 结果解读

最优解 ：( x 1 = x 2 = x 3 = 2 , y 1 = y 2 = y 3 = 2 x_1=x_2=x_3=2, y_1=y_2=y_3=2 x1=x2=x3=2,y1=y2=y3=2 )，供需平衡于6t
对偶价格 ：约束con1的对偶价格为-3，表示供应量每增加1t，利润减少3万元，对应清算价格为3万元/t

四、模型扩展与理论深化

4.1 一般化模型

假设供应函数与需求函数为分段阶梯函数：

供应函数：价格区间 ( p k p_k pk, p k + 1 p_{k+1} pk+1) 对应最大供应量 ( c k c_k ck)
需求函数：价格区间 ( q j + 1 , q j q_{j+1}, q_j qj+1,qj) 对应最大需求量 ( d j d_j dj )

扩展模型 ：
max ⁡ ∑ j = 1 L q j y j − ∑ k = 1 K p k x k \max \sum_{j=1}^L q_j y_j - \sum_{k=1}^K p_k x_k maxj=1∑Lqjyj−k=1∑Kpkxk s.t. ∑ k = 1 K x k = ∑ j = 1 L y j 0 ≤ x k ≤ d j − d j − 1 , 0 ≤ y j ≤ d j − d j − 1 \text{s.t.} \quad \sum_{k=1}^K x_k = \sum_{j=1}^L y_j \\ 0 \leq x_k\leq d_j - d_{j-1}, 0 \leq y_j \leq d_j - d_{j-1} s.t.k=1∑Kxk=j=1∑Lyj0≤xk≤dj−dj−1,0≤yj≤dj−dj−1

4.2 对偶价格的经济学意义

对偶价格（影子价格）反映约束的边际价值：

若供应约束的对偶价格为( λ \lambda λ )，则表示每增加1单位供应，目标函数变化( λ \lambda λ )
本例中，供需平衡约束的对偶价格直接对应清算价格

五、实际应用与扩展思考

5.1 模型局限性

假设完全竞争市场，忽略垄断因素
未考虑动态调整过程
线性规划模型假设价格与供需为分段线性关系

5.2 现实场景应用

电力市场：确定发电与用电的实时平衡价格
劳动力市场：分析最低工资标准对就业的影响
供应链管理：优化库存与订单分配

六、总结

本文通过单一市场案例展示了经济均衡问题的建模与求解过程：

问题抽象：将实际供需数据转化为数学模型
模型构建：建立线性规划模型并求解
结果分析：通过对偶价格确定清算价格
工具应用：掌握Matlab在优化问题中的使用

该模型为多市场均衡分析（如国际贸易、交通流分配）提供了理论基础，具有广泛的应用前景。