数学建模笔记—— 最大最小化规划模型

数学建模笔记------ 最大最小化规划模型

最大最小化规划模型
- [1. 模型原理](#1. 模型原理)
- [2. 典型例题](#2. 典型例题)
- [3. matlab代码求解](#3. matlab代码求解)

最大最小化规划模型

1. 模型原理

在博弈论中有一个经典理论一一最大最小策略( Minimax strategy) ，是由博弈论奠基人约翰·冯·诺伊曼(John von Neumann)在1928年提出的一种在理性行为基础上做的保守博弈策略：使得博弈者的最小收入最大化的策略。由此衍生出了最大最小算法(Minimax算法)，是一种找出失败的最大可能性中的最小值的算法(即最小化对手的最大得益)。在实际问题中也有许多求最大值的最小化问题，例如急救中心选址问题就是要规划其到所有地点最大距离的最小值，在投资规划中要确定最大风险的最低限度等，为此，对每个 x ∈ R n x\in R^n x∈Rn,我们先求出目标值 f i ( x ) f_i(x) fi(x)的最大值，然后再求这些最大值中的最小值。

最大最小化问题的一般数学模型：
m i n { m a x [ f 1 ( x ) ] , m a x [ f 2 ( x ) ] , ... , m a x [ f m ( x ) ] } s . t . { A x ≤ b A e q ⋅ x = b e q C ( x ) ≤ 0 C e q ( x ) = 0 V L B ≤ X ≤ V U B \begin{aligned}&min\left\{max\Big[f_{1}\Big(x\Big)\Big],max\Big[f_{2}\Big(x\Big)\Big],\ldots,max\Big[f_{m}\Big(x\Big)\Big]\right\}\\&s.t.\begin{cases}Ax\leq b\\Aeq\cdot x=beq\\C\left(x\right)\leq0\\Ceq\left(x\right)=0\\VLB\leq X\leq VUB\end{cases}\end{aligned} min{max[f1(x)],max[f2(x)],...,max[fm(x)]}s.t.⎩ ⎨ ⎧Ax≤bAeq⋅x=beqC(x)≤0Ceq(x)=0VLB≤X≤VUB

2. 典型例题

选址问题：

设某城市有某种物品的10个需求点，第 i i i个需求点 P I P_I PI的坐标( a i , b i a_i,b_i ai,bi),道路网与坐标轴平行，彼此正交，现打算建一个该物品的供应中心，且由于受到城市某些条件的限制，该供应中心只能设在 x x x界于[3,8], y y y界于[4,10]的范围之内，问该中心应建在何处为好？

a i a_i ai 1 4 3 5 9 12 6 20 17 8

b i b_{i} bi 2 10 8 18 1 4 5 10 8 9

a i a_i ai	1	4	3	5	9	12	6	20	17	8
b i b_{i} bi	2	10	8	18	1	4	5	10	8	9

设供应中心的位置为(x,y),要求它到最远需求点的距离尽可能小，由于道路网与坐标轴平行，彼此正交，故采用沿道路行走计算距离，可知每个需求点 P i P_i Pi到该中心的距离为 ∣ x − a i ∣ + ∣ y − b i ∣ |x-a_i|+|y-b_i| ∣x−ai∣+∣y−bi∣，于是模型为：
min ⁡ ( x , y ) { max ⁡ i [ ∣ x − a i ∣ + ∣ y − b i ∣ ] } s . t . { 3 ≤ x ≤ 8 4 ≤ y ≤ 10 \begin{aligned}&\min_{{(x,y)}}\left\{\max_{i}\left[\left|x-a_i\right|+\left|y-b_i\right|\right]\right\}\\ &s.t.\begin{cases}3\leq x\leq8\\4\leq y\leq10\end{cases}\end{aligned} (x,y)min{imax[∣x−ai∣+∣y−bi∣]}s.t.{3≤x≤84≤y≤10

3. matlab代码求解

f m i n i m a x fminimax fminimax函数： [ x , f v a l ] = f m i n i m a x ( f u n , x 0 , A , b , A e q , b e q , l b , u b , n o n l c o n , o p t i o n ) [x,fval]=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,option) [x,fval]=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,option)

该函数与非线性规划函数用法基本一致，但注意目标函数需要用函数向量表示

目标函数fun.m定义如下：

matlab 复制代码

function f = fun(x)
    a=[1 4 3 5 9 12 6 20 17 8];
    b=[2 10 8 18 1 4 5 10 8 9];
    % 函数向量
    f=zeros(10,1);
    for i=1:10
        f(i)=abs(x(1)-a(i))+abs(x(2)-b(i));
    end
end

主代码如下：

matlab 复制代码

clc;
clear;
x0=[6,6]; % 给定初始值
lb=[3,4]; % 决策变量的下界
ub=[8,10]; % 决策变量的上界
[x,feval]=fminimax(@fun,x0,[],[],[],[],lb,ub)
max(feval)

输出：

可能存在局部最小值。满足约束。

fminimax 已停止，因为当前搜索方向的大小小于
步长容差值的两倍，并且在约束容差值范围内满足约束。

<停止条件详细信息>

x =

                         8          8.50000000605316


feval =

          13.5000000060532
          5.49999999394684
          5.50000000605316
          12.4999999939468
          8.50000000605316
          8.50000000605316
          5.50000000605316
          13.4999999939468
          9.50000000605316
          0.49999999394684


ans =

          13.5000000060532