蓝桥杯备考----》完全背包模板

BingLin-Liu2025-04-01 20:14

其实这个完全背包的步骤和01背包也是差不多滴，不过他有一些优化是我们必须要说一说的

老样子，我们先定义一下状态表示

step1: f $i$ $j$ 表示从1到i个物品里选出体积不超过j的最大价值

step2:状态转移方程

写成一行就是

我们再写一下f $i$ $j-v\[i$ ]的表达式

可以推出f $i$ $j$ 其实就是等于max(f $i-1$ $j$ ,f $i$ $j-v\[i$ +w $i$ )

这就是我们优化后的状态转移方程，很简单

step3:初始化，全部初始化为0

step4:结果就存在f $n$ $V$ 里

cpp 复制代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,V;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main()
{
	cin >> n >> V;
	for(int i = 1;i<=n;i++)
	{
		cin >> v[i] >>  w[i];
	}
	for(int i = 1;i<=n;i++)
	{
		for(int j = 0;j<=V;j++)
		{
			f[i][j] = f[i-1][j];
			if(j>=v[i])
			{
				f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
			}
		}
	}
	cout << f[n][V] << endl;
	
	
	
	
	return 0;
}

嗯，我们还需要想一想这个代码怎么进行空间优化可以看到，我们更新一维数组的时候，我们需要当前位置和左边位置的元素，所以我们必须得先把左边位置更新出来才行，所以我们必须从左往右更新才正确

优化代码

cpp 复制代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,V;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main()
{
	cin >> n >> V;
	for(int i = 1;i<=n;i++)
	{
		cin >> v[i] >>  w[i];
	}
	for(int i = 1;i<=n;i++)
	{
		for(int j = v[i];j<=V;j++)
		{
				f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
		}
	}
	
	cout << f[V];
	
	
	
	
	return 0;
}

好的好的，那我们来继续做一下第二问

step1:定义状态表示 f $i$ $j$ 表示的是从1到i个物品里选出恰好体积为j的物品的最大价值

step2:定义状态表示，和上面的一样

step3:初始化，全部初始化为负无穷，因为我们要用到max，不能让坏值影响我们的推导

并单独把f $0$ $0$ 设置为0

step4:答案如果存在的话就存在f $n$ $V$

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int INF = -0x3f3f3f3f; 
const int N = 1010;
int n,V;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main()
{
	cin >> n >> V;
	memset(f,-0x3f3f3f3f,sizeof(f));
	for(int i = 1;i<=n;i++)
	{
		cin >> v[i] >> w[i];
	}
	f[0] = 0;
	for(int i = 1;i<=n;i++)
	{
		for(int j = v[i];j<=V;j++)
		{
		   f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
		}
	}
	if(f[V]<0) cout << 0 << endl;
	else cout << f[V] << endl;
	
	
	return 0;
}