74. 搜索二维矩阵

中等

给你一个满足下述两条属性的 m x n 整数矩阵：

每行中的整数从左到右按非严格递增顺序排列。
每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。

给你一个整数 target ，如果 target 在矩阵中，返回 true ；否则，返回 false 。

示例 1：

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输入：matrix = [[1,3,5,7],[10,11,16,20],[23,30,34,60]], target = 3
输出：true

示例 2：

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输入：matrix = [[1,3,5,7],[10,11,16,20],[23,30,34,60]], target = 13
输出：false

提示：

m == matrix.length
n == matrix[i].length
1 <= m, n <= 100
-104 <= matrix[i][j], target <= 104

这是为您定制的 搜索二维矩阵 (二分查找 / 虚拟扁平化 / 开区间) 复习笔记。

这份代码使用了 "虚拟扁平化" 的技巧，配合您习惯的 "开区间 (left, right)****" 写法。这种写法的优势在于不用纠结边界 +1 还是 -1，逻辑非常干净。

📝 核心笔记：搜索二维矩阵 (Search a 2D Matrix)

1. 核心思想 (一句话总结)

"降维打击：把它当成一个长长的有序数组。"

虽然输入是二维的，但因为题目保证了"每行有序"且"下一行比上一行大"，所以逻辑上它就是一个长度为 $m \\times n$ 的一维有序数组。

我们只需要搞定一维下标 (mid) 到二维坐标 (row, col) 的数学映射即可。

💡 坐标映射公式：

设列数为 n：

行号 (Row) = mid / n （商：表示跨越了几整行）
列号 (Col) = mid % n （余：表示在当前行的偏移量）

2. 算法流程 (开区间版)

定义区间：

- 范围是 0 到 m*n - 1。
- 开区间 初始化：left = -1, right = m * n。

二分查找：

- 取出 mid。
- 映射：x = matrix[mid / n][mid % n]。
- 比较：

- - x == target: 找到了，return true。
  - x < target: 太小了，left = mid (往右找)。
  - x > target: 太大了，right = mid (往左找)。

终止：

- 当 left + 1 == right 时循环结束。如果中间没返回 true，说明不存在，return false。

🔍 代码回忆清单 (带注释版)

📝 核心笔记：搜索二维矩阵 (Z-Search / Staircase)

1. 核心思想 (一句话总结)

"站在右上角，把矩阵当成一颗二叉搜索树 (BST)。"

为什么选右上角？因为在这个角：

向左看：数字变小。
向下看：数字变大。

方向是确定的！(如果选左上角，向右向下都变大，就无法决策了)。

💡 图像记忆 (抽象 BST)：

把右上角的元素想象成 Root 节点。
它的左边是左子树（比它小）。
它的下边是右子树（比它大）。
你要找 Target，就像在 BST 里遍历一样，大了往左走，小了往下走。

2. 算法流程 (三步走)

定位起点 ：初始化指针在 (0, col-1)，即右上角。
循环决策：

- 相等：return true。
- 当前值 > Target ：太大啦！说明这一列剩下的数（都在下面）肯定更大，排除这一列 (j--，向左)。
- 当前值 < Target ：太小啦！说明这一行之前的数（都在左边）肯定更小，排除这一行 (i++，向下)。

越界终止：如果走出了矩阵范围还没找到，说明不存在。

🔍 代码回忆清单 (带注释版)

复制代码

// 题目：LC 240. Search a 2D Matrix II (也适用于 LC 74)
class Solution {
    public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
        // 1. 起点：右上角
        int i = 0;
        int j = matrix[0].length - 1;

        // 2. 边界条件：只要在矩阵范围内就继续搜
        while (i < matrix.length && j >= 0) { 
            if (matrix[i][j] == target) {
                return true; // 🎯 找到了
            }
            
            // 3. 核心逻辑：消消乐
            if (matrix[i][j] < target) {
                // 当前值比目标小，说明这一行左边的更小，没戏了
                // 需要找更大的数，所以往下走
                i++; 
            } else { // matrix[i][j] > target
                // 当前值比目标大，说明这一列下边的更大，没戏了
                // 需要找更小的数，所以往左走
                j--; 
            }
        }
        return false; // 走出边界都没找到
    }
}

⚡ 快速复习 CheckList (易错点)

$\] **起点只能是右上角吗？**$
- 右上角 (Right-Top) 或 左下角 (Left-Bottom) 都可以。这两个角都有"一边大一边小"的性质。
- 左上角 和 右下角 绝对不行！(因为两个方向都是同向变化的，没法做排除法)。

$\] **时间复杂度是多少？**$
- $O(m + n)$ 。
- 最坏情况就是沿着对角线或者边缘走一趟"L"型，最多走 $m$ 行 $n$ 列。
- 注：对于 LC 74 (全有序)，二分法是 $O(\\log(mn))$ 更快；但对于 LC 240 (局部有序)，这个算法是 $O(m+n)$ 最优。

$\] **边界检查** **j >= 0****？**$
- 别忘了检查 j 不能减到 -1。同理 i 不能增加到 m。

🖼️ 数字演练

矩阵：

复制代码

1  4  7
2  5  8
3  6  9

Target: 5

Start (0, 2) : 值是 7。

- 7 > 5 (太大了)。
- Action : j-- (往左)。排除第 2 列。

Point (0, 1) : 值是 4。

- 4 < 5 (太小了)。
- Action : i++ (往下)。排除第 0 行。

Point (1, 1) : 值是 5。

- 5 == 5。
- Return True.

(路径：7 -> 4 -> 5)