数据结构 -- 图的存储

图的存储

邻接矩阵法

邻接矩阵存储不带权图

0 - 表示两个顶点不邻接

1 - 表示两个顶点邻接

在无向图中，每条边在矩阵中对应两个1

在有向图中，每条边在矩阵中对应一个1

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//不带权图的邻接矩阵存储
#define MaxVertexNum 100		//顶点数目的最大值
typedef struct{
    char Vex[MaxVertexNum];
    int Edge[MaxVertexNum][MaxVertexNum];		//邻接矩阵，边表
    int vexnum,arcnum;			//图当前顶点数和边数/弧数
}MGraph;

因为矩阵中只需要存放0和1，所以也可以将Edge（二维数组）定义为bool类型或枚举类型，让矩阵变得更小，节省存储空间

求顶点的度、入度、出度

无向图：第i个顶点的度 = 第i行（或第i列）的非零元素个数时间复杂度O(|V|)

有向图：第i个顶点的入度 = 第i行的非零元素个数时间复杂度O(|V|)

第i个顶点的出度 = 第i列的非零元素个数时间复杂度O(|V|)

第i个顶点的度 = 第i行和第i列的非零元素个数之和时间复杂度O(|V|)

邻接矩阵存储带权图（网）

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//邻接矩阵存储带权图（网）
#define MaxVertexNum 100		//顶点数目的最大值
#define INFINITY 最大的int值	//宏定义常量"无穷"		使用int的上限值表示"无穷"
typedef char VertexType;		//顶点的数据类型
typedef int EdgeType;			//带权图中边上权值的数据类型
typedef struct{
    VertexType Vex[MaxVertexNum];			//顶点
    EdgeType Edge[MaxVertexNum][MaxVertexNum];		//边的权
    int vexnum,arcnum;			//图的当前定点数和弧数
}

若两个顶点间没有边，则权值为无穷

也有一些教材将一个顶点与自身的权值记作0，所以在使用邻接矩阵表示带权图（网）时，如果两个点之间权值为0或∞，则代表这两个顶点间没有边

邻接矩阵法的性能分析

空间复杂度：O(|V|²) -- 只和顶点数相关，和实际边数无关

当边数较少时，有大量的空间被浪费，所以邻接矩阵法适用于存储稠密图

无向图的邻接矩阵是对称矩阵，可以进行压缩存储（只存储上三角区/下三角区）

邻接矩阵的性质

设图G的邻接矩阵为A（矩阵元素为0/1），则Aⁿ的元素Aⁿ[i][j]等于由顶点i到顶点j的长度为n的路径的数目

邻接表法（顺序+链式存储）

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//用邻接表存储的图
typedef struct{
    AdjList vertices;
    int vexnum,arcnum;
}ALGraph;
//顶点
typedef struct VNode{
    VertexType data;	//顶点信息
    ArcNode *first;		//第一条边/弧    
}VNode,AdjList[MaxVertexNum];
//"边/弧"
typedef struct ArcNode{
    int adjvex;		//边/弧指向哪个结点
    struct ArcNode *next;		//指向下一条弧的指针
    //InfoType info			//边权值
}ArcNode;

//与树的孩子表示法相同

空间复杂度

无向图：边结点的数量为2|E|，整体的空间复杂度为O(|V|+2|E|)

有向图：边结点的数量为|E|，整体的空间复杂度为O(|V|+|E|)

求顶点的度、入度、出度

无向图：度 = 顶点指向的边链表中结点的数量

有向图：度 = 入度 + 出度

出度 = 顶点指向的边链表中结点的数量

入度 = 指向当前结点的弧的数量（需要遍历所有结点的边链表）

同一个图的邻接表表示方式不唯一（边链表各结点的顺序是任意的）

邻接表和邻接矩阵

	邻接表	邻接矩阵
空间复杂度	无向图：O(\|V\|+2\|E\|)；有向图：O(\|V\|+\|E\|)	O(\|V\|²)
适用于	存储稀疏图	存储稠密图
表示方式	不唯一	唯一
计算度/入度/出度	计算有向图的度和入度不方便，其余很方便	必须遍历对应的行和列
找相邻的边	找有向图的入边不方便，其余很方便	必须遍历对应的行和列

十字链表法、邻接多重表

十字链表法（存储有向图）

【有向图存储】

邻接表：入度、入边寻找计算不方便

邻接矩阵：空间复杂度高

空间复杂度：O(|V|+|E|)

找出边：顺着绿色线路找

找入边：顺着橙色路线找

注意：十字链表法只能用于存储有向图

邻接多重表（存储无向图）

【存储无向图】

邻接表：每条边对应两份冗余信息，删除顶点、删除边时间复杂度高

邻接矩阵：空间复杂度高

空间复杂度：O(|V|+|E|)

删除边、删除节点等操作很方便

注意：邻接多重表只适用于存储无向图

小结

	邻接表	邻接矩阵	十字链表法	邻接多重表
空间复杂度	无向图：O(\|V\|+2\|E\|)；有向图：O(\|V\|+\|E\|)	O(\|V\|²)	O(\|V\|+\|E\|)	O(\|V\|+\|E\|)
适用于	存储稀疏图	存储稠密图	只能存有向图	只能存无向图
表示方式	不唯一	唯一	不唯一	不唯一
删除边或顶点	无向图中删除边或删除顶点都不方便	删除边很方便，删除顶点需要大量移动数据	很方便	很方便
找相邻的边	找有向图的入边必须遍历整个邻接表	遍历对应行或列，时间复杂度O(\|V\|)	很方便	很方便