扩展域并查集
普通的并查集只能解决各元素之间仅存在⼀种相互关系，⽐如《亲戚》题⽬中：
- a 和b 是亲戚关系，b 和c 是亲戚关系，这时就可以查找出a 和c 也存在亲戚关系。
但如果存在各元素之间存在多种相互关系，普通并查集就⽆法解决。⽐如下⾯的案例： - a 和b 是敌⼈关系，b 和c 是敌⼈关系，但是a 和c 其实不是敌⼈关系，⽽是另⼀种朋友关系。
此时，就不仅仅是简单的敌⼈关系，还是出现⼀种朋友关系。
解决这类问题就需要对并查集进⾏扩展：将每个元素拆分成多个域，每个域代表⼀种状态或者关系。
通过维护这些域之间的关系，来处理复杂的约束条件。
敌⼈朋友问题中，我们会将x 分成两个域，朋友域x 以及敌⼈域y ： - x 和y 是朋友，正常处理，把x 和y 合并成⼀个集合；
- x 和y 是敌⼈：那么x 和y 的敌⼈y+n 就是朋友，合并x 与y+n ；y 和x 的敌⼈x+n 就是朋友，合并y 与x+n 。
这样就可以利⽤两个域，将所有的关系维护起来
P1892 [BalticOI 2003] 团伙 - 洛谷
扩展域并查集模板题：
- a 和b 如果是朋友，那就直接合并在⼀起；
- a 和b 如果是敌⼈，那就把a 和b + n 以及a + n 和b 合并在⼀起
没有说朋友的敌人是敌人
合并的时候要让朋友域作为父节点
c++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int fa[N * 2]; //扩展域并查集
int find(int x)
{
return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}
//朋友域作为父节点
void un(int x, int y)
{
fa[find(y)] = find(x);
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin >> n >> m;
//初始化
for (int i = 1; i <= n * 2; i++) fa[i] = i;
while (m--)
{
char op; int x, y;
cin >> op >> x >> y;
if (op == 'F')
{
un(x, y);
}
else
{
un(x, y+n);
un(y, x+n);
}
}
int ret = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if (fa[i] == i) ret++;
}
cout << ret << endl;
return 0;
}P2024 [NOI2001] 食物链 - 洛谷
针对x ，扩展三个域：同类域x，捕⻝域x+n，被捕⻝域x+n+n。
如果x和y是同类：
- x和y是同类
- x+n与y+n是同类
- x+n+n与y+n+n是同类
如果x捕⻝y： - x+n与y同类
- x与y+n+n同类
- x+n+n与y+n同类
c++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e4 + 10;
int n, k;
int fa[N * 3]; //扩展域并查集
int find(int x)
{
return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}
void un(int x, int y)
{
fa[find(x)] = find(y);
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin >> n >> k;
for (int i = 1; i <= n * 3; i++) fa[i] = i;
int ret = 0;
while (k--)
{
int op, x, y; cin >> op >> x >> y;
if (x > n || y > n) ret++;
else if (op == 1) //同类
{
if (find(x) == find(y+n) || find(x) == find(y+n+n)) ret++;
else
{
un(x, y);
un(x+n, y+n);
un(x+n+n, y+n+n);
}
}
else
{
if (find(x) == find(y) || find(x) == find(y+n)) ret++;
else
{
un(x, y+n+n);
un(y, x+n);
un(x+n+n, y+n);
}
}
}
cout << ret << endl;
return 0;
}带权并查集
- 带权并查集的概念
带权并查集在普通并查集的基础上，为每个结点增加了⼀个权值。这个权值可以表⽰当前结点与⽗结点之间的关系、距离或其他信息（注意，由于我们有路径压缩操作，所以最终这个权值表⽰的是当前结点相对于根结点的信息）。有了这样⼀个权值，就可以推断出集合中各个元素之间的相互关系。 - 带权并查集的实现
我们以最简单的距离问题为例，实现⼀个能够查询任意两点之间距离的并查集。
实现带权并查集的核⼼是在进⾏ Find 和 Union 操作时，不仅要维护集合的结构，还要维护结点的权值。
注意：带权并查集的实现是多种多样的，基本上换⼀道题，实现的代码就要更改。因此⼀定要重点关注实现过程的思考⽅式，这才是通⽤的
初始化init ：
c++
const int N = 1e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;
int n;
int fa[N], d[N];
void init()
{
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
fa[i] = i;
d[i] = 0; // 根据题⽬要求来初始化
}
}查询根节点操作 find ：
c++
int find(int x)
{
if(fa[x] == x) return x;
int t = find(fa[x]); // 这句代码⼀定要先执⾏，先让⽗结点挂在根节点的后⾯
d[x] += d[fa[x]]; // 注意，可能会根据权值的意义有所改变
return fa[x] = t;
}合并操作 union ：
c++
// x 所在集合与 y 所在集合合并，x 与 y 之间的权值是 w
void un(int x, int y, int w)
{
int fx = find(x), fy = find(y);
if(fx != fy) // 不在同⼀个集合中
{
fa[fx] = fy;
d[fx] = d[y] + w - d[x]; // 注意，可能会根据权值的意义有所改变
}
}查询距离操作 query ：
c++
// 查询 x 到 y 的距离
int query(int x, int y)
{
int fx = find(x), fy = find(y);
if(fx != fy) return INF; // 如果不在同⼀个集合中，说明距离未知
return d[y] - d[x];
}P2024 [NOI2001] 食物链 - 洛谷
把真话⾥⾯的相互关系，⽤"带权并查集"维护起来，权值表⽰当前节点相对于根节点的距离。那么对于集合中的任意两点x 和y ：
- 如果
(d[y] - d[x]) % 3 == 0，表⽰两者是同类关系； - 如果
(d[y] - d[x]) % 3 == 1，表⽰两者是捕⻝关系； - 如果
(d[y] - d[x]) % 3 == 2，表⽰两者是天敌关系。
find 操作： - 更新d 数组：按照最基础的距离更新的⽅式，
d[x] = d[x] + d[fa[x]]；
union 操作： - 如果x 和y 是同类，那么边权就是0 ；
- 如果x 吃y ，那么边权就是1
c++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e4 + 10;
int n, k;
int fa[N], d[N]; //带权并查集
int find(int x)
{
if (fa[x] == x) return x;
int t = find(fa[x]);
d[x] += d[fa[x]];
return fa[x] = t;
}
void un(int x, int y, int w)
{
int fx = find(x), fy = find(y);
if (fx != fy)
{
fa[fx] = fy;
d[fx] = d[y] + w - d[x];
}
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin >> n >> k;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
fa[i] = i;
}
int ret = 0;
while (k--)
{
int op, x, y; cin >> op >> x >> y;
int fx = find(x), fy = find(y);
if (x > n || y > n) ret++;
else if (op == 1) //同类
{
if (fx == fy && ((d[y] - d[x]) % 3 + 3) % 3 != 0) ret++;
else un(x, y, 0);
}
else //x -> y
{
if (fx == fy && ((d[y] - d[x]) % 3 + 3) % 3 != 1) ret++;
else un(x, y, 2);
}
}
cout << ret << endl;
return 0;
}P1196 [NOI2002] 银河英雄传说 - 洛谷
c++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3e4 + 10;
int n = 3e4;
int fa[N], d[N], cnt[N]; //维护集合的合并，权值，大小
int find(int x)
{
if (fa[x] == x) return x;
int t = find(fa[x]);
d[x] += d[fa[x]];
return fa[x] = t;
}
void un(int x, int y)
{
int fx = find(x), fy = find(y);
if (fx != fy)
{
fa[fx] = fy;
d[fx] = cnt[fy];
cnt[fy] += cnt[fx];
}
}
int query(int x, int y)
{
int fx = find(x), fy = find(y);
if (fx != fy) return -1;
else return abs(d[y] - d[x]) - 1;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
fa[i] = i;
cnt[i] = 1;
}
int T; cin >> T;
while (T--)
{
char op; int x, y;
cin >> op >> x >> y;
if (op == 'M')
{
un(x, y);
}
else
{
cout << query(x, y) << endl;
}
}
return 0;
}