OCC模块概览
参数几何（曲线与曲面类型）
参数
直线
圆
球
Bezier曲线
在Draw Test Harness中绘制Bezier曲线命令：
beziercurve bc 3 0 1 0 4 1 -2 0 5 2 3 0 6
fit
圆的参数方程与隐式方程式的转换
在解析几何中，圆的参数方程和隐式方程之间的转换可以通过代数操作实现。以下我们将详细讲解如何将圆的参数方程转换为隐式方程，以及如何将隐式方程转换回参数方程。
1. 圆的参数方程
圆的参数方程通常表示为：
{ x = h + r cos θ y = k + r sin θ \begin{cases} x = h + r \cos \theta \\ y = k + r \sin \theta \end{cases} {x=h+rcosθy=k+rsinθ
其中：
- ( h , k ) (h, k) (h,k) 是圆心坐标，
- r r r 是圆的半径，
- θ \theta θ 是参数，取值范围通常是 0 ≤ θ < 2 π 0 \leq \theta < 2\pi 0≤θ<2π。
在原点处的圆，即：
h = 0 k = 0 h = 0 \\ k = 0 h=0k=0
则：
{ x = r cos θ y = r sin θ \begin{cases} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{cases} {x=rcosθy=rsinθ
理解：
参数方程使用一个变量（如 θ \theta θ）来描述x和y的变化。当 θ \theta θ 从0变化到 2 π 2\pi 2π 时，点 ( x , y ) (x, y) (x,y) 沿着圆移动一周。
2. 将参数方程转换为隐式方程
要将参数方程转换为隐式方程（即标准形式的圆的方程），我们可以利用三角恒等式 cos 2 θ + sin 2 θ = 1 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 cos2θ+sin2θ=1。具体步骤如下：
步骤 1：分离参数
从参数方程中解出 cos θ \cos \theta cosθ 和 sin θ \sin \theta sinθ：
cos θ = x − h r sin θ = y − k r \cos \theta = \frac{x - h}{r} \\ \sin \theta = \frac{y - k}{r} cosθ=rx−hsinθ=ry−k
步骤 2：代入三角恒等式
将 cos θ \cos \theta cosθ 和 sin θ \sin \theta sinθ 代入 cos 2 θ + sin 2 θ = 1 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 cos2θ+sin2θ=1：
( x − h r ) 2 + ( y − k r ) 2 = 1 \left( \frac{x - h}{r} \right)^2 + \left( \frac{y - k}{r} \right)^2 = 1 (rx−h)2+(ry−k)2=1
步骤 3：化简为标准形式
两边同时乘以 r 2 r^2 r2，得到：
( x − h ) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 (x−h)2+(y−k)2=r2
这就是圆的隐式方程。
3. 将隐式方程转换为参数方程
将隐式方程 ( x − h ) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 (x−h)2+(y−k)2=r2 转换为参数方程，可以通过引入参数 θ \theta θ 来表示圆上的点。具体步骤如下：
步骤 1：引入参数
假设 x x x 和 y y y 可以用角度 θ \theta θ 表示：
{ x = h + r cos θ y = k + r sin θ \begin{cases} x = h + r \cos \theta \\ y = k + r \sin \theta \end{cases} {x=h+rcosθy=k+rsinθ
其中， θ \theta θ 是从圆心到圆上某点的连线与 x 轴正方向之间的夹角。
步骤 2：验证参数方程满足隐式方程
将 x = h + r cos θ x = h + r \cos \theta x=h+rcosθ 和 y = k + r sin θ y = k + r \sin \theta y=k+rsinθ 代入隐式方程：
( x − h ) 2 + ( y − k ) 2 = ( r cos θ ) 2 + ( r sin θ ) 2 = r 2 ( cos 2 θ + sin 2 θ ) = r 2 (x - h)^2 + (y - k)^2 = (r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta)^2 = r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = r^2 (x−h)2+(y−k)2=(rcosθ)2+(rsinθ)2=r2(cos2θ+sin2θ)=r2
满足隐式方程。
4. 总结
- 参数方程 ：通过角度 θ \theta θ 描述圆上点的位置，形式为：
{ x = h + r cos θ y = k + r sin θ \begin{cases} x = h + r \cos \theta \\ y = k + r \sin \theta \end{cases} {x=h+rcosθy=k+rsinθ - 隐式方程 ：不涉及参数，直接描述圆上点的坐标关系，形式为：
( x − h ) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 (x−h)2+(y−k)2=r2
通过上述方法，可以实现圆的参数方程和隐式方程之间的相互转换。
球面的参数方程与隐式方程式的转换
在解析几何中，球面的参数方程和隐式方程之间可以通过坐标变换进行相互转换。以下是一步步的解释：
1. 球面的隐式方程
球面在三维空间中的隐式方程通常表示为：
( x − h ) 2 + ( y − k ) 2 + ( z − l ) 2 = r 2 (x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2 (x−h)2+(y−k)2+(z−l)2=r2
其中：
- ( h , k , l ) (h, k, l) (h,k,l) 是球心坐标，
- r r r 是球的半径。
这个方程描述了三维空间中所有到中心点 ( h , k , l ) (h, k, l) (h,k,l) 的距离为 r r r 的点。
2. 球面的参数方程
球面可以用两个角度参数 θ \theta θ 和 ϕ \phi ϕ 来表示，通常称为极角（polar angle）和方位角（azimuthal angle）。参数方程的形式如下：
{ x = h + r sin θ cos ϕ y = k + r sin θ sin ϕ z = l + r cos θ \begin{cases} x = h + r \sin\theta \cos\phi \\ y = k + r \sin\theta \sin\phi \\ z = l + r \cos\theta \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x=h+rsinθcosϕy=k+rsinθsinϕz=l+rcosθ
其中：
- 0 ≤ θ ≤ π 0 \leq \theta \leq \pi 0≤θ≤π 是极角，表示点与球心的连线与 z z z-轴之间的夹角，
- 0 ≤ ϕ < 2 π 0 \leq \phi < 2\pi 0≤ϕ<2π 是方位角，表示在水平面（ x x x- y y y 平面）上的旋转角度。
在原点处的球面，即：
h = 0 k = 0 l = 0 h = 0 \\ k = 0 \\ l = 0 h=0k=0l=0
则：
{ x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ \begin{cases} x = r \sin\theta \cos\phi \\ y = r \sin\theta \sin\phi \\ z = r \cos\theta \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x=rsinθcosϕy=rsinθsinϕz=rcosθ
3. 隐式方程到参数方程的转换
假设我们有球面的隐式方程：
( x − h ) 2 + ( y − k ) 2 + ( z − l ) 2 = r 2 (x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2 (x−h)2+(y−k)2+(z−l)2=r2
我们可以引入球坐标系来将其转化为参数方程。
步骤 1：定义参数化
在三维空间中，球面对称性非常适合使用球坐标系来表示。我们可以用两个角度 θ \theta θ 和 ϕ \phi ϕ 来描述球面上的每一点：
- θ \theta θ 是从 z z z-轴向下测量的角度，
- ϕ \phi ϕ 是绕 z z z-轴旋转的角度。
步骤 2：引入球坐标变换
将隐式方程中的 x , y , z x, y, z x,y,z 用球坐标参数化表示：
{ x = h + r sin θ cos ϕ y = k + r sin θ sin ϕ z = l + r cos θ \begin{cases} x = h + r \sin\theta \cos\phi \\ y = k + r \sin\theta \sin\phi \\ z = l + r \cos\theta \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x=h+rsinθcosϕy=k+rsinθsinϕz=l+rcosθ
其中 r r r 是半径，固定不变。
步骤 3：验证参数方程满足隐式方程
将参数方程代入隐式方程：
( x − h ) 2 + ( y − k ) 2 + ( z − l ) 2 = r 2 (x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2 (x−h)2+(y−k)2+(z−l)2=r2
代入 x , y , z x, y, z x,y,z 的表达式：
r sin θ cos ϕ 2 + r sin θ sin ϕ 2 + r cos θ 2 = r 2 ( sin 2 θ cos 2 ϕ ) + r 2 ( sin 2 θ sin 2 ϕ ) + r 2 cos 2 θ = r 2 sin 2 θ ( cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) + r 2 cos 2 θ = r 2 sin 2 θ ( 1 ) + r 2 cos 2 θ = r 2 ( sin 2 θ + cos 2 θ ) = r 2 \begin{aligned} &r \\sin\\theta \\cos\\phi^2 + r \\sin\\theta \\sin\\phi^2 + r \\cos\\theta^2 \\ &= r^2 (\sin^2\theta \cos^2\phi) + r^2 (\sin^2\theta \sin^2\phi) + r^2 \cos^2\theta \\ &= r^2 \sin^2\theta (\cos^2\phi + \sin^2\phi) + r^2 \cos^2\theta \\ &= r^2 \sin^2\theta (1) + r^2 \cos^2\theta \\ &= r^2 (\sin^2\theta + \cos^2\theta) \\ &= r^2 \end{aligned} rsinθcosϕ2+rsinθsinϕ2+rcosθ2=r2(sin2θcos2ϕ)+r2(sin2θsin2ϕ)+r2cos2θ=r2sin2θ(cos2ϕ+sin2ϕ)+r2cos2θ=r2sin2θ(1)+r2cos2θ=r2(sin2θ+cos2θ)=r2
这验证了参数方程确实满足隐式方程。
4. 参数方程到隐式方程的转换
假设我们有球面的参数方程：
{ x = h + r sin θ cos ϕ y = k + r sin θ sin ϕ z = l + r cos θ \begin{cases} x = h + r \sin\theta \cos\phi \\ y = k + r \sin\theta \sin\phi \\ z = l + r \cos\theta \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x=h+rsinθcosϕy=k+rsinθsinϕz=l+rcosθ
我们需要将其转换为隐式方程。
步骤 1：消去参数 θ \theta θ 和 ϕ \phi ϕ
从参数方程中解出 sin θ cos ϕ \sin\theta \cos\phi sinθcosϕ、 sin θ sin ϕ \sin\theta \sin\phi sinθsinϕ 和 cos θ \cos\theta cosθ：
{ x − h = r sin θ cos ϕ y − k = r sin θ sin ϕ z − l = r cos θ \begin{cases} x - h = r \sin\theta \cos\phi \\ y - k = r \sin\theta \sin\phi \\ z - l = r \cos\theta \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x−h=rsinθcosϕy−k=rsinθsinϕz−l=rcosθ
步骤 2：平方并相加
将前两个方程分别平方：
( x − h ) 2 = r 2 sin 2 θ cos 2 ϕ , ( y − k ) 2 = r 2 sin 2 θ sin 2 ϕ (x - h)^2 = r^2 \sin^2\theta \cos^2\phi, \quad (y - k)^2 = r^2 \sin^2\theta \sin^2\phi (x−h)2=r2sin2θcos2ϕ,(y−k)2=r2sin2θsin2ϕ
将它们相加：
( x − h ) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 sin 2 θ ( cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) = r 2 sin 2 θ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \sin^2\theta (\cos^2\phi + \sin^2\phi) = r^2 \sin^2\theta (x−h)2+(y−k)2=r2sin2θ(cos2ϕ+sin2ϕ)=r2sin2θ
同时，对第三个方程平方：
( z − l ) 2 = r 2 cos 2 θ (z - l)^2 = r^2 \cos^2\theta (z−l)2=r2cos2θ
步骤 3：相加得到隐式方程
将上述两个结果相加：
( x − h ) 2 + ( y − k ) 2 + ( z − l ) 2 = r 2 sin 2 θ + r 2 cos 2 θ = r 2 ( sin 2 θ + cos 2 θ ) = r 2 (x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2 \sin^2\theta + r^2 \cos^2\theta = r^2 (\sin^2\theta + \cos^2\theta) = r^2 (x−h)2+(y−k)2+(z−l)2=r2sin2θ+r2cos2θ=r2(sin2θ+cos2θ)=r2
这就得到了球面的隐式方程：
( x − h ) 2 + ( y − k ) 2 + ( z − l ) 2 = r 2 (x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2 (x−h)2+(y−k)2+(z−l)2=r2
总结
- 球面的隐式方程是关于 x , y , z x, y, z x,y,z 的二次方程，描述了所有到球心距离为 r r r 的点。
- 球面的参数方程使用两个角度 θ \theta θ 和 ϕ \phi ϕ 来表示球面上的任意一点。
- 通过将参数方程代入隐式方程并利用三角恒等式，可以验证两者的一致性。
- 反过来，通过消去参数 θ \theta θ 和 ϕ \phi ϕ 并平方相加，可以从参数方程推导出隐式方程。
参数曲线与离散函数表
源码文件：OCCT-7_9_0\src\ElCLib\ElCLib.cxx
| 曲线类型 | 离散函数 |
|---|---|
| 直线 | gp_Pnt2d ElCLib::LineValue(const Standard_Real U, const gp_Ax2d& Pos) |
| 圆 | gp_Pnt2d ElCLib::CircleValue(const Standard_Real U, const gp_Ax22d& Pos, const Standard_Real Radius) |
| 椭圆 | gp_Pnt2d ElCLib::EllipseValue(const Standard_Real U, const gp_Ax22d& Pos, const Standard_Real MajorRadius, const Standard_Real MinorRadius) |
| 抛物线 | gp_Pnt2d ElCLib::ParabolaValue(const Standard_Real U, const gp_Ax22d& Pos, const Standard_Real Focal) |
| 双曲线 | gp_Pnt2d ElCLib::HyperbolaValue(const Standard_Real U, const gp_Ax22d& Pos, const Standard_Real MajorRadius, const Standard_Real MinorRadius) |
| 样条曲线 | BSplCLib |
参数曲面与离散函数表
源码文件：OCCT-7_9_0\src\ElSLib\ElSLib.cxx
| 曲面类型 | 离散函数 |
|---|---|
| 平面 | void ElSLib::PlaneD0(const Standard_Real U, const Standard_Real V, const gp_Ax3& Pos, gp_Pnt& P) |
| 圆柱面 | void ElSLib::CylinderD0(const Standard_Real U, const Standard_Real V, const gp_Ax3& Pos, const Standard_Real Radius, gp_Pnt& P) |
| 圆柱面 | void ElSLib::ConeD0(const Standard_Real U, const Standard_Real V, const gp_Ax3& Pos, const Standard_Real Radius, const Standard_Real SAngle, gp_Pnt& P) |
| 球面 | void ElSLib::SphereD0(const Standard_Real U, const Standard_Real V, const gp_Ax3& Pos, const Standard_Real Radius, gp_Pnt& P) |
| 圆环面 | void ElSLib::TorusD0(const Standard_Real U, const Standard_Real V, const gp_Ax3& Pos, const Standard_Real MajorRadius, const Standard_Real MinorRadius, gp_Pnt& P) |
| 样条曲面 | BSplSLib |
参考文档：