快速幂
给定 n 组 a i a_i ai, b i b_i bi, p i p_i pi，对于每组数据，求出 a i b i m o d {a_i}^{b_i} mod aibimod p i p_i pi 的值。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含三个整数 a i a_i ai, b i b_i bi, p i p_i pi。
输出格式
对于每组数据，输出一个结果，表示 a i b i m o d {a_i}^{b_i} mod aibimod p i p_i pi的值。
每个结果占一行。
数据范围
1≤n≤100000,
1≤ a i a_i ai, b i b_i bi, p i p_i pi≤2× 1 0 9 10^9 109
输入样例：
2
3 2 5
4 3 9输出样例：
4
1【思路分析】
如果使用朴素算法要进行b次乘积运算，因此朴素算法的时间复杂度是O(b)的
但是使用快速幂算法即可将时间复杂度优化为logb的
快速幂的思路如下
对于一个数 a b a^b ab 我们可以先将
a 2 0 a ^{2^0} a20 mod p
a 2 1 a ^{2^1} a21 mod p
a 2 2 a ^{2^2} a22 mod p
...
a 2 l o g b a ^{2^{logb}} a2logb mod p
预处理出来
而且可以发现 a i a^{i} ai = a i − 1 a^{i - 1} ai−1 * a i − 1 a^{i - 1} ai−1 mod p
然后 a b a^b ab 就可以用预处理出来的数来表示
例如b的二进制是101101
则 a 45 a^{45} a45 = a 2 0 a ^{2^0} a20 * a 2 2 a ^{2^2} a22 * a 2 3 a ^{2^3} a23 * a 2 5 a ^{2^5} a25
代码如下
java
import java.io.*;
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) throws Exception {
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
PrintWriter pw = new PrintWriter(System.out);
int n = Integer.parseInt(br.readLine());
while(n-- > 0) {
String[] data = br.readLine().split(" ");
int a = Integer.parseInt(data[0]);
int b = Integer.parseInt(data[1]);
int p = Integer.parseInt(data[2]);
pw.println(function((long)a, b, p));
}
br.close();
pw.close();
}
//求快速幂 a^b % p
public static long function(long a, int b, int p) {
long res = 1 % p;
while(b > 0) {
//如果b的末位是1
if((b & 1) == 1) {
res = res * a % p;
}
//a的计算可以通过上一次的a求出
a = a * a % p;
//b右移一位
b >>= 1;
}
return res;
}
}快速幂的应用：求逆元
给定 n 组 a i a_i ai, p i p_i pi，其中 p i p_i pi 是质数，求 a i a_i ai 模 p i p_i pi的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。
注意：请返回在 0∼p−1之间的逆元。
乘法逆元的定义
若整数 b，m 互质，并且对于任意的整数 a，如果满足 b|a，则存在一个整数 x，使得 a b \frac{a}{b} ba ≡ a× x x x(mod m)，则称 x x x 为b 的模 m 乘法逆元，记为 b − 1 b^{−1} b−1 (mod m) 。
b 存在乘法逆元的充要条件是 b 与模数 m 互质。当模数 m 为质数时， b m − 2 b^{m−2} bm−2 即为 b 的乘法逆元。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个数组 a i a_i ai, p i p_i pi，数据保证 p i p_i pi 是质数。
输出格式
输出共 n 行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。
若 a i a_i ai 模 p i p_i pi 的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出 impossible。
数据范围
1≤n≤ 1 0 5 10^5 105,
1≤ a i a_i ai, p i p_i pi≤2∗ 1 0 9 10^9 109
输入样例：
3
4 3
8 5
6 3输出样例：
1
2
impossible费马小定理(可以通过欧拉函数推出)
费马小定理表述为：若 p 是质数，且整数 a 与 p 互质（即 gcd(a,p)=1，gcd表示最大公约数 ），那么有 a p − 1 a ^ {p - 1} ap−1 ≡ 1 (mod p) 。
推导乘法逆元公式
已知乘法逆元的定义：对于整数 a 和质数 p ，若存在整数 x ，使得 ax ≡ 1 (mod p) ，则 x 是 a 模 p 的乘法逆元。 由费马小定理 a p − 1 a ^ {p - 1} ap−1 ≡ 1 (mod p) ，等式两边同时除以 a （因为 a 与 p 互质，所以可以除 ），得到 a p − 2 a ^ {p - 2} ap−2 ≡ 1 a \frac{1}{a} a1 (mod p) 。 也就是说，当 p 是质数且 a 与 p 互质时，a 模 p 的乘法逆元就是 a p − 2 a^{p - 2} ap−2 mod p。
java
import java.io.*;
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) throws Exception {
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
PrintWriter pw = new PrintWriter(System.out);
int n = Integer.parseInt(br.readLine());
while(n-- > 0) {
String[] data = br.readLine().split(" ");
int a = Integer.parseInt(data[0]);
int p = Integer.parseInt(data[1]);
//如果a是p的倍数，则一定没有逆元
if(a % p == 0) {
pw.println("impossible");
} else {
pw.println(function((long)a, p - 2, p));
}
}
br.close();
pw.close();
}
//求快速幂 a^b % p
public static long function(long a, int b, int p) {
long res = 1 % p;
while(b > 0) {
if((b & 1) == 1) {
res = res * a % p;
}
a = a * a % p;
b >>= 1;
}
return res;
}
}