二进制、高位低位、位移操作与进制转换全解
在计算机科学中，理解高位与低位 、左移与右移 、进制转换 与位运算非常重要。这篇文章用清晰直观的方式梳理这些基本概念。
高位与低位
- 低位：二进制中靠右的位，权值较小（例如 (2^0, 2^1)）。
- 高位：二进制中靠左的位，权值较大（例如 (2^7, 2^8)）。
示例：在 1101 中，最左边的 1 是高位，对应 (2^3)，最右边的 1 是低位，对应 (2^0)。
左移 (<<) 与右移 (>>)
| 操作 | 效果 | 补位 |
|---|---|---|
左移 << |
所有位向左移动，低位补0 | 数值×2 |
右移 >> |
所有位向右移动，高位补符号位 | 数值/2（正数） |
小例子：
0011 << 1 = 0110（3 左移变 6）1100 >> 1 = 0110（12 右移变 6）
二进制与八进制的关系
三位二进制正好可以对应一个八进制数字，因为 (2^3=8)。
| 三位二进制 | 八进制 |
|---|---|
| 000 | 0 |
| 001 | 1 |
| 010 | 2 |
| 011 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
二进制转八进制步骤
- 从右向左每三位分一组（不足补0）。
- 每组转为一个八进制数字。
例：1101011
- 分组：
001101011 - 转换：1 5 3
- 结果：
153
八进制转二进制步骤
- 每个八进制数字转成对应的三位二进制数。
例：153
1 -> 0015 -> 1013 -> 011- 结果：
1101011
十进制与二、八进制转换
十进制转二进制
- 除2取余，倒序排列。
例：13 → 1101
二进制转十进制
- 每个位×2的对应幂次，结果相加。
例：1101 → 13
十进制转八进制
- 除8取余，倒序排列。
例：83 → 123
八进制转十进制
- 每个位×8的对应幂次，结果相加。
例：123 → 83
位运算速查
| 运算符 | 名称 | 规则 | 示例 |
|---|---|---|---|
& |
位与 | 都为1结果才为1 | 1010 & 1100 = 1000 |
| ` | ` | 位或 | 有1结果为1 |
^ |
位异或 | 不同为1，相同为0 | 1010 ^ 1100 = 0110 |
~ |
位非 | 取反 | ~1010 = 0101 |
<< |
左移 | 乘以2 | 0011 << 1 = 0110 |
>> |
右移 | 除以2（正数） | 1100 >> 1 = 0110 |
补码表示和符号扩展
补码表示
- 正数：最高位是0，直接按原码存储。
- 负数：最高位是1，用补码存储：原码取反加一。
例：
+5（8位）=00000101-5（8位）=11111011
符号扩展
当把较小的数据类型扩展到较大的类型时：
- 无符号数：高位补0。
- 有符号数：根据最高位补0或1，保持正负性不变。
例：
8位 -5 (11111011)扩展为16位 -5 (11111111 11111011)
大端序与小端序
大端序（Big-Endian）
- 高位字节排在前面，低位字节排在后面。
- 常见于网络协议。
小端序（Little-Endian）
- 低位字节排在前面，高位字节排在后面。
- 常见于x86架构计算机。
例：32位整数 0x12345678
- 大端：12 34 56 78
- 小端：78 56 34 12
高效位操作技巧
快速乘除2
n << 1等同于n × 2n >> 1等同于n ÷ 2（正数）
判断奇偶性
n & 1：- 结果是1，奇数；
- 结果是0，偶数。
取绝对值（有符号数）
一种位操作绝对值写法：
c
int abs(int n) {
int mask = n >> 31;
return (n + mask) ^ mask;
}解释：
n >> 31：得到全0（正）或全1（负）。- 正数不变，负数反码加一，即取绝对值。
位图和位集合优化技巧
- 使用一位(bit)来表示一个元素的存在与否，大大节省内存。
- 比如要表示100万个元素是否出现，只需要约125KB内存，而不是100万个bool变量。
- 常用操作：
- 置位 ：
bitmap[index/8] |= (1 << (index%8)) - 清位 ：
bitmap[index/8] &= ~(1 << (index%8)) - 查询 ：
bitmap[index/8] & (1 << (index%8))
- 置位 ：
应用场景：去重、布隆过滤器、集合运算优化。
CRC校验与位操作
- CRC（循环冗余校验）用于数据传输或存储时检测错误。
- 核心是通过位移和异或操作不断处理数据位。
简单示意：
- 将数据左移一位。
- 如果最高位是1，则将结果与多项式做异或。
- 重复步骤直到所有位处理完。
硬件中，CRC通常用移位寄存器实现；软件中，可以用查表法或直接位移法高效完成。
总结
掌握高位与低位概念，理解左移右移的本质，熟练进行二进制、八进制、十进制之间的转换，同时善用位运算，是搞定计算机底层原理、提高程序性能的重要基础。