树

定义

结点的度数其实就是这个结点下连的线，比如：A的度 = AB+AC+AD = 3

树的度就是MAX(结点的度)

叶子结点就是没后代的结点

树的基本性质

所有结点数 = 所有结点的度数之和 + 1(这个1也就是根节点)

习题：

所有节点数 =4 + 20 * 4 + 10 * 3 + 1 * 2 + 10 * 1 + 1 = 123

123 - 20 - 10 - 1 - 10 = 82
所有结点数 = 不同度的节点数之和

假设所有节点数为n，度0～4的个数为n0～n4，则n = n0 + n1 + n2 + n3 + n4
第一层m^{0，第二层m}1，第i层m^(i-1)
等比数列求和公式

二叉树

定义

就是每个分支只有二叉的树，子树有左右之分

基本形态

二叉树的性质

这是某一层的最多结点数

这是整个二叉树的最多结点数

n0 = n2 + 1

对于任何非空的二叉树，度0(叶子)和度2的结点数为n0、n2，那么 n0 = n2 + 1
n2 = 0 的时候，n0 = 1，每把一个叶子画一个二叉，n2++，n0++

n = 1 * n1 + 2 * n2 + 1
n = n0 + n1 + n2
解得，n0 = n2 + 1

特殊二叉树

满二叉树

完全二叉树

没有左子树，不能有右子树，上一层没铺满，不能有下一层

判断完全二叉树

不是

是

完全二叉树的性质

1.2.3.就是二叉树的性质

如果总结点数-1是奇数，说明有一个度为1的结点

习题

叶子结点出现在最后2层，这里求的是最多，所以最后一层是第7层

第6层最多的结点数=2^(6-1)=32

第6层的非叶子结点=32-8=24

第7层的最多结点数= 24*2 = 48

前6层的最多结点数=2^6 - 1 = 63

总计=63+48 = 111，选c

n = n0+n1+n2

n0=n2+1

所以，n = 2n2 + n1 + 1

而768-1是奇数，所以有一个度为1的结点，即n1 = 1

解得 n2 = 383

n0 = n2 + 1 = 384，选c

n=n0+n1+n2

n1 = 0

n0=n2+1

所以，n = 2n0 - 1 = 2k -1 ，选a

二叉树的实现

顺序结构实现------除了满二叉树和完全二叉树的其他场景比较浪费空间

链式结构实现

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//链式结构实现
typedef char ElemType;

//树结点
typedef struct TreeNode {
    ElemType data;
    TreeNode *lchild;
    TreeNode *rchild;
} TreeNode;

//用树结点指针表示二叉树
typedef TreeNode* BiTree;

创建二叉树

二级指针概念：

指针pp 存的是指针p的地址

那么*pp 就是得到p的地址，**pp就是得到p的值

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char str[] = "ABDH#K###E##CFI###G#J##";
int idx = 0;

//创建二叉树
// T是二级指针(BiTree**)
//  *T就是对二叉树的结点进行操作
void createTree(BiTree *T)
{
	ElemType ch;
	ch = str[idx++];
	if (ch == '#')
	{
		*T = NULL;
	}
	else
	{
		*T = (BiTree)malloc(sizeof(TreeNode));
		(*T)->data = ch;
		createTree(& ( (*T)->lchild ) );
		createTree(& ( (*T)->rchild ) );
	}
}

遍历

前序遍历

NLR / NRL （根-左-右）/（根-右-左）

下面都以先左的遍历为例

从根节点开始，先从左子结点开始一层层向下递(进栈)并打印，如果左子节点是空就归(出栈)，然后开始递右结点，进行如上同样操作，并向上一层层归，归到根节点后，对根节点的右子节点进行同样的操作。

具体动画演示可以看《数据结构（C 语言描述）》的55:00左右进度条

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//前序遍历
void preOrder(BiTree T){
    if(T == NULL) return;
    printf("%c ", T->data);
    //递归子树
    preOrder(T->lchild);
    preOrder(T->rchild);
}

中序遍历

LNR / RNL

从根节点开始，先从左子结点开始一层层向下递(进栈)，如果左子节点是空就归(出栈)并打印，然后开始递右结点，进行如上同样操作，并向上一层层归，归到根节点后，对根节点的右子节点进行同样的操作。

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//中序遍历
void inOrder(BiTree T){
    if(T == NULL) return;
    inOrder(T->lchild);
    printf("%c ", T->data);
    inOrder(T->rchild);
}

后序遍历

LRN / RLN

从根节点开始，先从左子结点开始一层层向下递(进栈)，如果左子节点是空就归(出栈)，然后开始递右结点，进行如上同样操作，在右结点空的时候归(出栈)并打印，并向上一层层归，归到根节点后，对根节点的右子节点进行同样的操作。

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//后序遍历
void postOrder(BiTree T){
    if(T == NULL) return;
    postOrder(T->lchild);
    postOrder(T->rchild);
    printf("%c ", T->data);
}

习题

前：ABDHEICFGJK

中：HDBEIAFCJGK

后：HDIEBFJKGCA

前：ABDEGHCFI

中：DBGEHAFIC

后：DGHEBIFCA

先画出二叉树：

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	 A
	/ \
       B   D
      /   / \  
     C   E   F

后：CBEFDA

二叉树遍历性质

习题

先右后左的中序遍历，RNL，选d

ADB都能画出来，所以选c

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选b

(这题不要多选，一般情况只需要考虑先左就行)

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选b

因为对于顺序结构来说，没有的子树节点需要填NULL，所以相当于是高度为5的满二叉树需要的存储单元，也就是二叉树的最大结点数公式，即2^5 - 1 = 31

线索二叉树

目标：构建一个双向循环链表

会出现空余空间不够用的情况吗？

不会，n个节点有n+1个空

代码实现

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typedef char ElemType;

typedef struct ThreadNode {
    ElemType data;
    struct ThreadNode *lchild, *rchild;
    int ltag, rtag;
} ThreadNode;

typedef ThreadNode *ThreadTree;

ltag：0 指向lchild，1指向前驱

rtag：0 指向rchild，1指向后继

中序遍历线索化

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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef char ElemType;

typedef struct ThreadNode {
    ElemType data;
    struct ThreadNode *lchild, *rchild;
    int ltag, rtag;
} ThreadNode;

typedef ThreadNode *ThreadTree;

char str[] = "ABDH##I##EJ###CF##G##";
int idx = 0;

ThreadTree prev;

//创建二叉树
void createTree(ThreadTree *T){
    ElemType ch;
	ch = str[idx++];
	if (ch == '#')
	{
		*T = NULL;
	}
	else
	{
		*T = (ThreadTree)malloc(sizeof(ThreadNode));
		(*T)->data = ch;

		createTree(& ( (*T)->lchild ) );
        //lchild有左孩子，则ltag=0
        if( (*T)->lchild != NULL){
            (*T)->ltag = 0;
        }

        createTree(& ( (*T)->rchild ) );
        if( (*T)->rchild != NULL){
            (*T)->rtag = 0;
        }
	}
}

//线索化------加前驱后继的逻辑
void threading(ThreadTree T){
    if(T != NULL){
        //一直往左边遍历
        threading(T->lchild);
        //当前结点的左孩子为空，当前结点的左孩子设定为指向前驱
        if(T->lchild == NULL){
            T->ltag = 1;
            T->lchild = prev;
        }
        //前驱结点的右孩子为空，前驱结点的右孩子设定为指向当前结点(当前结点就是前驱节点的后继)
        if(prev->rchild == NULL){
            prev->rtag = 1;
            prev->rchild = T;
        }
        //更新prev到根节点，往右边遍历
        prev = T;
        threading(T->rchild);
    }
}

//中序遍历线索化
void inOrderThreading(ThreadTree *head ,ThreadTree T){
    *head = (ThreadTree)malloc(sizeof(ThreadNode));
    (*head)->ltag = 0;
    (*head)->rtag = 1;
    (*head)->rchild = (*head);
    if(T == NULL){
        (*head)->lchild = (*head);
    }
    else{
        //头节点的左孩子指向树的根节点
        (*head)->lchild = T;

        //prev：上一个访问的节点是头节点
        prev = (*head);

        //加前驱后继的逻辑
        threading(T);

        //最后一个节点的右孩子指向头节点
        prev->rtag = 1;
        prev->rchild = (*head);

        //头节点的右孩子指向遍历的最后一个节点
        (*head)->rchild = prev;

    }
}

//基于线索的中序遍历
void inOrder(ThreadTree T){
    ThreadTree current = T->lchild;
    while(current != T){
        //如果当前节点有左孩子，则一直往左边遍历
        //没有左孩子，则退出当前循环 输出当前节点
        while(current->ltag == 0){
            current = current->lchild;
        }
        printf("%c",current->data);
        //往右边遍历, 直到右孩子不为空且当前的右孩子是头节点
        while(current->rtag == 1 && current->rchild != T){
            current = current->rchild;
            printf("%c",current->data);
        }
        current = current->rchild;
    }
    printf("\n");
}

int main(){
    ThreadTree head;
    ThreadTree T;
    createTree(&T);
    inOrderThreading(&head,T);
    inOrder(head);
    return 0;
}