FGMRES（Flexible Generalized Minimal Residual）方法

FGMRES（Flexible Generalized Minimal Residual）方法是GMRES的变种，主要用于处理变预处理子（即每次迭代的预处理子可能不同）的情况。与标准GMRES相比，FGMRES通过存储预处理后的向量而非预处理子本身，避免了因预处理子变化导致的子空间不一致问题。

FGMRES与GMRES的核心区别

预处理子的灵活性
- GMRES：要求预处理子固定（即每次迭代的预处理子 ( M ) 必须相同）。若预处理子变化，Krylov子空间的正交性会被破坏，导致收敛失败。
- FGMRES：允许预处理子 ( M_i ) 在每次迭代中动态变化（例如依赖当前迭代的解或残差），更适合非线性预处理或自适应预处理场景。
存储的向量不同
- GMRES存储的是预处理前的向量 ( v_j = M^{-1} A q_j )。
- FGMRES存储的是预处理后的向量 ( z_j = M_j^{-1} v_j )，从而适应预处理子的变化。
计算开销

FGMRES需要额外存储预处理后的向量 ( z_j )，但避免了重新构造整个Krylov子空间。

FGMRES的优势场景

当预处理子需要动态调整时，FGMRES是唯一选择。例如：

非线性预处理：预处理子依赖当前解（如基于物理的近似）。
内迭代法作为预处理子：例如用不完全LU分解（ILU）或少量迭代的GMRES作为预处理子，但内层迭代的精度可能随外层变化。
自适应策略：预处理子的参数（如阈值、填充级别）根据残差动态调整。

具体例子

问题：求解线性系统 ( Ax = b )，其中 ( A ) 是病态矩阵，预处理子通过内层GMRES迭代实现（每次内层迭代次数可能不同）。

GMRES的局限

若用内层GMRES（如5次迭代）作为固定预处理子，外层GMRES可能因预处理子不精确而收敛缓慢甚至失败。

FGMRES的解决方案

允许内层GMRES的迭代次数动态调整（例如基于残差阈值）。FGMRES的伪代码如下：

python 复制代码

for k = 1, 2, ...:
    # 动态生成预处理子 M_k（例如内层GMRES迭代次数由残差决定）
    z_k = M_k^{-1} v_k  # 内层迭代求解
    # 将z_k加入FGMRES的子空间并正交化
    # 更新解和残差

此时，即使每次 ( M_k^{-1} ) 不同（如内层迭代次数从5次变为10次），FGMRES仍能保证子空间的正交性。

数学形式对比

GMRES：构建Krylov子空间 ( \mathcal{K}_m(A M^{-1}, r_0) )，要求 ( M ) 固定。
FGMRES：构建子空间 ( \text{span}{z_1, z_2, \dots, z_m} )，其中 ( z_j = M_j^{-1} v_j )，允许 ( M_j ) 变化。

总结

使用FGMRES当：预处理子需要动态调整（如非线性、内层迭代不精确或自适应策略）。
使用GMRES当：预处理子固定且易于求逆（如静态ILU、SSOR）。

典型应用：

多物理场耦合问题（预处理子依赖其他场的解）。
嵌套迭代法（外层FGMRES + 内层GMRES预处理）。

通过灵活处理变预处理子，FGMRES扩展了GMRES的适用性，但代价是更高的存储需求和潜在稳定性风险（需监控残差）。

使用FGMRES方法迭代求解的指南与实例

FGMRES (Flexible Generalized Minimal Residual) 方法是GMRES的一种变体，特别适用于预处理子可能随迭代变化的情况。下面我将详细介绍FGMRES方法及其应用实例。

FGMRES方法概述

FGMRES是GMRES的灵活变体，主要特点：

允许预处理子在每次迭代中变化
适用于非线性预处理或迭代依赖的预处理
保持GMRES的最小残差特性
需要存储所有基向量，内存需求与GMRES相同

算法基本步骤：

初始化残差和第一个基向量
构建Krylov子空间
应用灵活预处理
正交化过程
最小化残差

实际应用实例：计算流体力学中的Navier-Stokes方程求解

问题描述

考虑二维不可压缩Navier-Stokes方程：

复制代码

∂u/∂t + u·∇u = -∇p + (1/Re)∇²u
∇·u = 0

其中u是速度场，p是压力场，Re是雷诺数。

离散化后的线性系统

经过半离散化和线性化后，我们得到如下块线性系统：

复制代码

[ A   G ][u] = [f]
[ D   0 ][p]   [g]

其中A是速度矩阵，G是梯度算子，D是散度算子。

使用FGMRES求解

由于这是一个 saddle-point 问题，我们采用分块预处理策略，预处理子可能随物理参数或迭代变化，因此FGMRES是合适选择。

MATLAB代码示例

matlab 复制代码

% 假设已定义：A, G, D, f, g 和预处理子函数 apply_preconditioner

% 构建块系统矩阵
n = size(A,1);
m = size(D,1);
bigA = [A, G; D, sparse(m,m)];

% 右侧向量
rhs = [f; g];

% FGMRES参数设置
maxit = 100;    % 最大迭代次数
tol = 1e-6;     % 容差
restart = 30;   % 重启次数

% 定义预处理函数 (可能随迭代变化)
precond_func = @(x) apply_preconditioner(x, A, G, D);

% 调用FGMRES
[x, flag, relres, iter, resvec] = fgmres(@(x)bigA*x, rhs, [], tol, maxit, precond_func);

% 提取解
u_sol = x(1:n);
p_sol = x(n+1:end);

预处理子函数示例

matlab 复制代码

function y = apply_preconditioner(x, A, G, D)
    % 分块预处理示例
    n = size(A,1);
    m = size(D,1);
    
    % 分解x为速度和压力部分
    x_u = x(1:n);
    x_p = x(n+1:n+m);
    
    % 近似求解速度块 (可能使用不完全LU分解)
    [L,U] = ilu(A);  % 可能每次迭代不同
    u_sol = U\(L\x_u);
    
    % 压力Schur补近似 (使用质量矩阵或对角线近似)
    S_approx = diag(diag(D*(diag(diag(A))\G));  % 简单对角近似
    p_sol = S_approx\x_p;
    
    % 组合结果
    y = [u_sol; p_sol];
end

实际应用中的考虑因素

预处理子选择：在CFD中常用：
- 分块三角预处理
- 近似Schur补预处理
- 多重网格作为预处理
可变预处理：当非线性较强时，预处理可能需要在迭代间更新
重启策略：由于内存限制，需要定期重启FGMRES
收敛性：对于对流主导问题，可能需要特殊的预处理技术

其他应用领域

FGMRES还常用于：

电磁场计算（Maxwell方程）
结构力学中的耦合问题
多物理场模拟
大规模优化问题

优势与局限

优势：

处理变预处理子的灵活性
保持最小残差性质
适用于复杂物理问题

局限：

与GMRES相同的存储需求（随迭代次数线性增长）
重启可能影响收敛
预处理质量对性能影响大

结论

FGMRES是处理需要灵活预处理的大型稀疏线性系统的强大工具，特别适用于多物理场耦合问题和非线性预处理情况。在实际应用中，预处理子的设计和实现通常是获得良好性能的关键。