动态规划
完全背包
纯的完全背包问题（只是背包）可以颠倒两次 for 循环的顺序
因为完全背包 dp 值由左边的状态推导而来的，两种遍历方法都能保证前面有数据
0-1 背包二维递推公式
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])
完全背包二维递推公式
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])
在于01背包是 dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] ，完全背包是 dp[i][j - weight[i]] + value[i])
主要原因就是 完全背包单类物品有无限个。
题目
对比 0-1 背包问题，将遍历顺序改为正序遍历（第二次顺序）
-
Dp 表示容量 j 下的背包能装的最大价值
-
递推公式同 0-1 背包问题，比较空出来空间不拿这个物品和拿了这个物品的最大价值
dp[i][j] = std::max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-nums[i]] + value[i]) -
初始化顺序第一行与第一列（数据从第一行开始推导的）
dp[i][0] = 0; dp[0][j]=dp[0][j-nums[0]] + value[0] -
遍历顺序为物品 - 背包 （正序遍历一维数组）
-
Dp 打印
cpp
#include<iostream>
#include<vector>
int main() {
int n = 0, v = 0;
std::cin >> n >> v;
std::vector<int> weight(n, 0);
std::vector<int> value(n, 0);
for (int i = 0; i < n; ++i) std::cin >> weight[i] >> value[i];
// 初始化dp 单位j时最大的价值
std::vector<std::vector<int>> dp(n, std::vector<int>(v+1, 0));
for (int j = weight[0]; j <= v; ++j) dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
// 遍历dp
for (int i = 1; i < n; ++i) {
for (int j = 0; j <= v; ++j) {
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i-1][j];
else dp[i][j] = std::max(dp[i-1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
std::cout << dp[n-1][v] << std::endl;
return 0;
}背包问题求组和，不强调顺序
-
Dp 含义表示当前 i 个物品下装满 j 背包多少种方法
-
递推公式类似于 0-1 背包组合问题
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-nums[i]] -
初始化
dp[i][0]=1第一行如果背包可以装下物品，则方法为 1，否则为 0 -
遍历顺序默认即可先物品后背包（可以颠倒，一维情况不同）
一维情况下不能颠倒，先遍历物品再遍历背包求排列数，先遍历背包再遍历物品求组合数
- 打印 dp
cpp
int change(int amount, vector<int>& coins) {
int bagSize = amount;
// dp数组定义 在i个物品下装满j由多少种方法
std::vector<std::vector<uint64_t>> dp(coins.size(), std::vector<uint64_t>(bagSize+1, 0));
// 初始化dp
for (int i = 0; i < coins.size(); ++i) dp[i][0] = 1;
// 可以兑换 +1 方法
for (int j = 0; j <= bagSize; ++j) if (j % coins[0] == 0) dp[0][j] = 1;
// 遍历dp
for (int i = 1; i < coins.size(); ++i) {
for (int j = 0; j <= bagSize; ++j) {
if (coins[i] > j) dp[i][j] = dp[i-1][j];
else dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j - coins[i]];
}
}
return dp[coins.size()-1][bagSize];
}完全背包的求排列问题，在上一题基础上变换遍历顺序即可
-
Dp 数组表示当前装满 j 背包多少种方法
-
递推公式基于二维递推公式得出
dp[j]+=dp[j-nums[i]]i 表示物品 j 表示背包 -
初始化
dp[0]=1 -
遍历顺序先遍历背包再遍历物品求排列，先遍历物品再遍历背包求组合
-
打印 dp
cpp
int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
// dp
std::vector<int> dp(target+1, 0);
// 初始化
dp[0] = 1;
// dp遍历
for (int j = 0; j <= target; ++j) {
for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
if (j - nums[i] >= 0 && dp[j] <= INT_MAX - dp[j - nums[i]]) dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[target];
}爬楼梯进阶版，使用 dp 数组实现，求方法排列组合 121 和 211 两种方法
背包是 n 级台阶，物品是 m 上台阶方法，从 1 开始遍历因为题目要求
-
Dp 数组表示第 j 容量（楼梯）有多少种方法
-
递推公式如上题，从之前的数据中累加的来
dp[j] += dp[j-nums[i]] -
Dp 初始化
dp[0]=1 -
遍历顺序先遍历背包再遍历物品
-
Dp 打印
cpp
#include<iostream>
#include<vector>
int main() {
int m = 0, n = 0;
std::cin >> n >> m;
// 定义dp
std::vector<int> dp(n+1, 0);
dp[0] = 1;
// 遍历dp 先遍历背包n，再遍历物品m
for (int j = 1; j <= n; ++j) {
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
// 背包有空间的情况下
if (j - i >= 0) dp[j] += dp[j - i];
}
}
std::cout << dp[n] << std::endl;
return 0;
}