排序算法——堆排序

一、介绍

「堆排序heapsort」 是一种基于堆数据结构实现的高效排序算法。我们可以利用已经学过的"建堆操作"和"元素出堆操作"实现堆排序。

输入数组并建立小顶堆，此时最小元素位于堆顶。
不断执行出堆操作，依次记录出堆元素，即可得到从小到大排序的序列。

以上方法虽然可行，但需要借助一个额外数组来保存弹出的元素，比较浪费空间。在实际中，我们通常使用一种更加优雅的实现方式。

二、算法流程

设数组的长度为𝑛，堆排序的流程如下所示。

输入数组并建立大顶堆。完成后，最大元素位于堆顶。
将堆顶元素（第一个元素）与堆底元素（最后一个元素）交换。完成交换后，堆的长度减1，已排序元素数量加1。
从堆顶元素开始，从顶到底执行堆化操作（SiftDown）。完成堆化后，堆的性质得到修复。
循环执行第2.和3.步。循环𝑛−1轮后，即可完成数组排序。

三、完整代码

在代码实现中，使用了与堆相同的从顶至底堆化sift_down()函数。值得注意的是，由于堆的长度会随着提取最大元素而减小，因此我们需要给sift_down()函数添加一个长度参数𝑛，用于指定堆的当前有效长度。

复制代码

def sift_down(nums: list[int], n: int, i: int):
    """堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化"""
    while True:
        # 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        l = 2 * i + 1
        r = 2 * i + 2
        ma = i
        if l < n and nums[l] > nums[ma]:
            ma = l
        if r < n and nums[r] > nums[ma]:
            ma = r
        # 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if ma == i:
            break
        # 交换两节点
        nums[i], nums[ma] = nums[ma], nums[i]
        # 循环向下堆化
        i = ma


def heap_sort(nums: list[int]):
    """堆排序"""
    # 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for i in range(len(nums) // 2 - 1, -1, -1):
        sift_down(nums, len(nums), i)
    # 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
    for i in range(len(nums) - 1, 0, -1):
        # 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        nums[0], nums[i] = nums[i], nums[0]
        # 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
        sift_down(nums, i, 0)


"""Driver Code"""
if __name__ == "__main__":
    nums = [4, 1, 3, 1, 5, 2]
    heap_sort(nums)
    print("堆排序完成后 nums =", nums)

四、算法特性

‧ 时间复杂度𝑂(𝑛log𝑛)、非自适应排序 ：建堆操作使用𝑂(𝑛)时间。从堆中提取最大元素的时间复杂度为𝑂(log𝑛)，共循环𝑛−1轮。

‧ 空间复杂度𝑂(1)、原地排序 ：几个指针变量使用𝑂(1)空间。元素交换和堆化操作都是在原数组上进行的。

‧ 非稳定排序：在交换堆顶元素和堆底元素时，相等元素的相对位置可能发生变化。