一，实验目的
本次实验旨在通过Python编程实现k - means算法的散点图可视化。学习者将编写代码，深入理解聚类分析基本原理与k - means算法实现流程，掌握数据聚类及可视化方法，以直观展示聚类结果。
二，实验原理
- k-means 算法原理
k-means 算法是一种常用的无监督学习算法，用于将数据集划分为 k 个不同的簇。其基本原理是：首先随机选择 k 个点作为初始聚类中心，然后将数据集中的每个点分配到距离其最近的聚类中心所在的簇，接着重新计算每个簇的中心（即均值），并重复上述分配和更新中心的过程，直到聚类中心不再发生显著变化或达到最大迭代次数。
k-means 算法的目标是最小化簇内误差平方和（SSE，Sum of Squared Errors），也称为惯性（inertia），计算公式为：
1） 算法概述 ：k - means 算法是一种无监督学习算法，目标是将数据集划分成 k 个簇。
2） 初始化 ：随机挑选 k 个点作为初始聚类中心，初始点的选择会对算法收敛速度和最终聚类结果产生影响。
3） 分配数据点 ：采用常用的欧几里得距离作为距离度量，计算数据集中每个点到 k 个聚类中心的距离，把各点划分至距离最近的聚类中心所在簇。
4） 更新聚类中心 ：针对每个簇，计算簇内所有数据点的均值，并用该均值更新对应簇的聚类中心。
5） 迭代优化 ：不断重复 "分配数据点" 和 "更新聚类中心" 这两个步骤，直到聚类中心的变化小于特定阈值，或者达到预先设定的最大迭代次数。
6） 目标函数 ：算法以最小化簇内误差平方和（SSE，即惯性）为目标，计算公式为SSE =∑i =1k ∑x ∈Ci ∥x −μi ∥2 。通过持续迭代使 SSE 不断减小，促使同一簇内的数据点紧密聚集，达成有效聚类。
2.k- means聚类的应用场景
K-means聚类广泛应用于数据分析、模式识别、图像分割等领域。例如客户分群、文本分类、图像压缩等。
3. K-means聚类的优缺点
优点：实现简单、计算高效、适用于大型数据集。
缺点：对初始值敏感，可能收敛到局部最优解，需要事先确定簇个数K。
4.算法实现流程
K - means散点图可视化流程图涵盖数据准备、聚类计算、结果可视化三阶段。数据准备时，先明确数据集来源，可选真实文件数据或模拟生成数据，若数据有缺失值或特征取值差异大，需进行预处理。聚类计算先初始化聚类中心，可随机选或用优化方法；接着进入迭代，算距离、分配聚类、更新中心并判断收敛，不满足则继续迭代。结果可视化阶段，先以特征为轴绘制散点图，再用不同颜色区分聚类，标记聚类中心，添加标题、标签、图例等图表元素，最终完成K - means散点图可视化流程。
5.数据可视化方法
散点图是呈现二维数据分布的高效手段，在k-means聚类里，可借助散点图将不同簇的数据点以不同颜色呈现，同时标注每个簇的中心位置，以此直观展现聚类结果。 此外，为确定最优聚类数量k，可运用手肘法绘制不同k值对应的SSE曲线，选取曲线拐点处的k值作为最佳聚类数量。
三、实验环境
编程语言：Python
主要库：numpy用于数值计算，matplotlib用于数据可视化。
运行平台：window10
四， 实验步骤
1.库导入：
导入numpy库用于数值计算，matplotlib.pyplot用于数据可视化。
2. ****数据生成：****使用numpy库的随机数生成函数，从三个不同均值的二维正态分布中生成数据点，并将它们堆叠在一起，形成一个包含 300 个二维数据点的数据集X。
3. K - means 聚类：定义kmeans函数实现 K - means 算法。在函数内，首先随机初始化k个质心，然后通过多次迭代，不断更新数据点的聚类分配以及质心位置，直到质心不再显著变化或达到最大迭代次数。
4. ****结果可视化：****调用kmeans函数对生成的数据集X进行聚类，得到聚类标签和最终质心。使用matplotlib库绘制散点图，将不同聚类的数据点用不同颜色表示，聚类中心用特殊标记（红色叉号）表示，同时添加标题和坐标轴标签以展示聚类结果。
五， 实验结果
从可视化的散点图中可以清晰地看到，数据点被成功划分到了 3 个不同的聚类中，不同颜色的点代表不同的聚类，红色叉号准确标识出了各个聚类的中心位置。这表明 K - means 算法在该示例数据集上能够有效地进行聚类操作，直观地展示了聚类效果。
六， 实验总结
通过本次实验，成功实现了 K - means 聚类算法并将其结果进行可视化展示。在实验过程中，对 K - means 算法的原理有了更深入的理解，掌握了使用 Python 相关库进行数据处理、聚类分析和可视化的方法。同时也发现，K - means 算法对初始质心的选择较为敏感，不同的初始质心可能导致不同的聚类结果。在未来的研究中，可以进一步探索更优化的初始质心选择方法，以及将该算法应用于更复杂的实际数据集，以提高对聚类算法的应用能力。
python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def kmeans(X, k, max_iterations=100):
# 随机初始化质心
centroids = X[np.random.choice(X.shape[0], k, replace=False)]
for _ in range(max_iterations):
# 计算每个数据点到每个质心的距离
distances = np.sqrt(((X - centroids[:, np.newaxis]) ** 2).sum(axis=2))
# 分配每个数据点到最近的质心
labels = np.argmin(distances, axis=0)
# 更新质心
new_centroids = np.array([X[labels == i].mean(axis=0) for i in range(k)])
# 如果质心不再变化，停止迭代
if np.allclose(centroids, new_centroids):
break
centroids = new_centroids
return labels, centroids
# 生成一些示例数据
np.random.seed(42)
X = np.vstack([
np.random.normal([0, 0], 1, (100, 2)),
np.random.normal([5, 5], 1, (100, 2)),
np.random.normal([10, 0], 1, (100, 2))
])
# 运行 K-means 算法
k = 3
labels, centroids = kmeans(X, k)
# 可视化结果
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=labels, cmap='viridis')
plt.scatter(centroids[:, 0], centroids[:, 1], marker='X', s=200, c='red')
plt.title('K-means Clustering')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.show()