第九天——贪心算法——非递减数组

1. 题目

给定一个长度为 n 的整数数组 nums,判断它是否可以通过 最多修改一个元素 变成 非递减数组
非递减数组 的定义:对于所有的 i(0 ≤ i ≤ n-2),满足 nums[i] <= nums[i+1]

2. 分析

方法思路

  1. 遍历数组 :检查是否存在 nums[i] > nums[i+1] 的情况(即违反非递减的位置)。
  2. 处理违规情况
    • 如果遇到 nums[i] > nums[i+1],有两种修正方式:
      1. 降低 nums[i]nums[i+1](让 nums[i] = nums[i+1])。
      2. 增大 nums[i+1]nums[i](让 nums[i+1] = nums[i])。
    • 检查修正后的数组是否满足非递减条件。
    • 如果两种修正方式都无法使数组非递减,则返回 False
  3. 统计修正次数 :如果整个数组的修正次数 ≤ 1,返回 True,否则返回 False

3. 完整代码

复制代码
def checkPossibility(nums):
    corrections = 0
    for i in range(len(nums) - 1):
        if nums[i] > nums[i + 1]:
            # 情况1:尝试修正 nums[i] = nums[i+1]
            if i == 0 or nums[i - 1] <= nums[i + 1]:
                nums[i] = nums[i + 1]
            # 情况2:否则修正 nums[i+1] = nums[i]
            else:
                nums[i + 1] = nums[i]
            corrections += 1
            # 如果修正次数 >1,直接返回 False
            if corrections > 1:
                return False
    return True

原理详解

  1. 非递减条件nums[i] <= nums[i+1] 必须对所有 i 成立。
  2. 修正策略
    • 优先考虑修正 nums[i] :将 nums[i] 改成 nums[i+1],因为这样不会影响 nums[i+1] 右侧的单调性。
    • 特殊情况下修正 nums[i+1] :如果 nums[i-1] > nums[i+1](即修正 nums[i] 会影响左侧),则需要修正 nums[i+1]nums[i]
  3. 修正次数限制:最多允许 1 次修正。

4. 示例解析

示例 1:成功修正

<PYTHON>

复制代码
nums = [4, 2, 3]
  • 检查 nums[0] > nums[1] (4 > 2)
    • 修正 nums[0] = 2[2, 2, 3],变成非递减。
    • 返回 True
示例 2:失败修正

<PYTHON>

复制代码
nums = [4, 2, 1]
  • 第一次修正 nums[0] = 2[2, 2, 1],发现 nums[1] > nums[2] (2 > 1)。
  • 第二次修正 nums[1] = 1[2, 1, 1],仍然不满足。
  • 修正次数 > 1,返回 False
示例 3:特殊修正(修正 nums[i+1]

<PYTHON>

复制代码
nums = [3, 4, 2, 3]
  • 检查 nums[1] > nums[2] (4 > 2)
    • 如果尝试修正 nums[1] = 2[3, 2, 2, 3],但 nums[0] > nums[1] (3 > 2),无法满足左侧。
    • 改为修正 nums[2] = 4[3, 4, 4, 3]
  • 检查 nums[2] > nums[3] (4 > 3)
    • 需要第二次修正 → 超过允许的修正次数。
  • 返回 False

时间复杂度

  • O(n):只需一次遍历数组,并进行常数次比较和可能修改。

5. 总结

  • 关键点 :遇到 nums[i] > nums[i+1] 时要判断如何修改才能最小化影响。
  • 最优策略 :优先修改 nums[i],否则修改 nums[i+1]
  • 修正次数 ≤1 则返回 True,否则 False
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