第九天——贪心算法——非递减数组

1. 题目

给定一个长度为 n 的整数数组 nums，判断它是否可以通过 最多修改一个元素 变成 非递减数组 。
非递减数组 的定义：对于所有的 i（0 ≤ i ≤ n-2），满足 nums[i] <= nums[i+1]。

2. 分析

方法思路

1. 遍历数组 ：检查是否存在 nums[i] > nums[i+1] 的情况（即违反非递减的位置）。
2. 处理违规情况 ：
   • 如果遇到 nums[i] > nums[i+1]，有两种修正方式：
     1. 降低 nums[i] 至 nums[i+1]（让 nums[i] = nums[i+1]）。
     2. 增大 nums[i+1] 至 nums[i]（让 nums[i+1] = nums[i]）。
   • 检查修正后的数组是否满足非递减条件。
   • 如果两种修正方式都无法使数组非递减，则返回 False。
3. 统计修正次数 ：如果整个数组的修正次数 ≤ 1，返回 True，否则返回 False。

3. 完整代码

def checkPossibility(nums):
    corrections = 0
    for i in range(len(nums) - 1):
        if nums[i] > nums[i + 1]:
            # 情况1：尝试修正 nums[i] = nums[i+1]
            if i == 0 or nums[i - 1] <= nums[i + 1]:
                nums[i] = nums[i + 1]
            # 情况2：否则修正 nums[i+1] = nums[i]
            else:
                nums[i + 1] = nums[i]
            corrections += 1
            # 如果修正次数 >1，直接返回 False
            if corrections > 1:
                return False
    return True

原理详解

1. 非递减条件 ：nums[i] <= nums[i+1] 必须对所有 i 成立。
2. 修正策略 ：
   • 优先考虑修正 nums[i] ：将 nums[i] 改成 nums[i+1]，因为这样不会影响 nums[i+1] 右侧的单调性。
   • 特殊情况下修正 nums[i+1] ：如果 nums[i-1] > nums[i+1]（即修正 nums[i] 会影响左侧），则需要修正 nums[i+1] 为 nums[i]。
3. 修正次数限制：最多允许 1 次修正。

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4. 示例解析

示例 1：成功修正

<PYTHON>

nums = [4, 2, 3]

• 检查 nums[0] > nums[1] (4 > 2)
  • 修正 nums[0] = 2 → [2, 2, 3]，变成非递减。
  • 返回 True。

示例 2：失败修正

<PYTHON>

nums = [4, 2, 1]

• 第一次修正 nums[0] = 2 → [2, 2, 1]，发现 nums[1] > nums[2] (2 > 1)。
• 第二次修正 nums[1] = 1 → [2, 1, 1]，仍然不满足。
• 修正次数 > 1，返回 False。

示例 3：特殊修正（修正 nums[i+1]）

<PYTHON>

nums = [3, 4, 2, 3]

• 检查 nums[1] > nums[2] (4 > 2)
  • 如果尝试修正 nums[1] = 2 → [3, 2, 2, 3]，但 nums[0] > nums[1] (3 > 2)，无法满足左侧。
  • 改为修正 nums[2] = 4 → [3, 4, 4, 3]。
• 检查 nums[2] > nums[3] (4 > 3)
  • 需要第二次修正 → 超过允许的修正次数。
• 返回 False。

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时间复杂度

• O(n)：只需一次遍历数组，并进行常数次比较和可能修改。

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5. 总结

• 关键点 ：遇到 nums[i] > nums[i+1] 时要判断如何修改才能最小化影响。
• 最优策略 ：优先修改 nums[i]，否则修改 nums[i+1]。
• 修正次数 ≤1 则返回 True，否则 False。